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***第四章数列章末综合提升巩固层·知识整合01提升层·题型探究02类型1求数列的通项公式类型2等差、等比数列的基本运算类型3等差、等比数列的判定类型4等差、等比数列的性质类型5数列求和类型1求数列的通项公式数列通项公式的求法(1)定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适用于已知数列类型的题目.√(2)已知数列{an}中,an+1=3an+4,且a1=1,求通项公式.法二:∵an+1=3an+4,∴an+1+2=3(an+2).令bn=an+2,∵b1=a1+2=3,∴数列{bn}是首项为3,公比为3的等比数列,则bn=3n,∴an=3n-2.法三:∵an+1=3an+4, ①∴an=3an-1+4(n≥2). ②①-②,得an+1-an=3(an-an-1)(n≥2).∵a2-a1=3+4-1=6,∴数列{an+1-an}是首项为6,公比为3的等比数列,即an+1-an=6×3n-1=2×3n,利用累加法得an=3n-2.类型2等差、等比数列的基本运算在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中,共涉及五个量:a1,an,n,d(或q),Sn,其中a1和d(或q)为基本量,“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1,d(q),an,Sn,n的方程组,利用方程思想求出需要的量,当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好,这样可以化繁为简,减少运算量,同时还要注意整体代入思想方法的运用.【例2】等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16.(1)求数列{an}的通项公式;[解]设{an}的公比为q,由已知得16=2q3,解得q=2,∴an=2×2n-1=2n.(2)若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项,试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.(3)通项公式法:an=kn+b(k,b是常数)?{an}是等差数列;an=c·qn(c,q为非零常数)?{an}是等比数列.(4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A,B为常数,n∈N*)?{an}是等差数列;Sn=Aqn-A(A,q为常数,且A≠0,q≠0,q≠1,n∈N*)?{an}是等比数列.【例3】已知数列{an},{bn}满足:an+1+1=2an+n,bn-an=n,b1=2.(1)证明数列{bn}是等比数列,并求数列{bn}的通项;(2)求数列{an}的前n项和Sn.类型4等差、等比数列的性质解决等差、等比数列有关问题的几点注意(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用;(2)对于计算解答题注意基本量及方程思想的运用;(3)注重问题的转化,由非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列,以便利用相关公式和性质解题;(4)当题目中出现多个数列时,既要纵向考察单一数列的项与项之间的关系,又要横向考察各数列之间的内在联系.【例4】(1)(多选)等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,当首项a1和d变化时,a3+a8+a13是一个定值,则下列各数也为定值的有()A.a7 B.a8C.S15 D.S16√√√√***
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