高中数学培优讲义练习（必修二）：专题8.9 空间直线、平面的平行（重难点题型精讲）（学生版）.docxVIP

专题8.9空间直线、平面的平行（重难点题型精讲）

1．直线与直线平行

(1)基本事实4

①自然语言：平行于同一条直线的两条直线平行.

②符号语言：a,b,c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c.

③作用：判断或证明空间中两条直线平行.

(2)空间等角定理

①自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

②符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠AOB中，OA∥OA，OB∥OB，则∠AOB=∠AOB

或∠AOB+∠AOB=.

2．直线与平面平行

(1)判定定理

①自然语言

如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.

②图形语言

③符号语言

.

该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”.

(2)性质定理

①自然语言

一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.

②图形语言

③符号语言

.

该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”.

(3)性质定理的作用

①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行.

②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线.

3．平面与平面平行

(1)判定定理

①自然语言

如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.

②图形语言

③符号语售

.

该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”.

(2)判定定理的推论

①自然语言

如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行.

②图形语言

③符号语言

.

(3)性质定理

①自然语言

两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.

②图形语言

③符号语言

.

该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”.

(4)两个平面平行的其他性质

①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面.

②平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等.

③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

④两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例.

⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.

4．平行关系的相互转化及综合应用

(1)证明线线平行的常用方法

①利用线线平行的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线.

②利用基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.

③利用三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半.

④利用平行线分线段成比例定理.

⑤利用线面平行的性质定理.

⑥利用面面平行的性质定理.

⑦利用反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾，进而得出两条直线是平行的.

(2)证明线面平行的常用方法

①利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点.

②利用直线与平面平行的判定定理：a，a∥b，b，则a∥.使用定理时，一定要说明“平面外

一条直线与此平面内的一条直线平行”，若不注明，则证明过程不完整.因此，要证明a∥，则必须在平面内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的，这三个条件缺一不可.

③利用面面平行的性质：若平面∥平面，直线a，则a∥.

④利用反证法.这时“平行”的否定有“在平面内”和“与平面相交”两种，只有在排除“直线在平面内”和“直线与平面相交”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平行”的结论，在这一点上往往容易出错，应引起重视.

(3)平面与平面平行的判定方法

①根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难.

②根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行

于另一个平面，则这两个平面平行.

③根据判定定理的推论：在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行，

则这两个平面平行.

④根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面平行.

⑤利用反证法.

(4)平行关系的相互转化

常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转

化的，如图所示.

【题型1证明线线平行】

【方法点拨】

掌握线线平行的判定方法，结合题目条件，进行求解，即可证明线线平行.

【例1】（2023·上海·高二专题练习）若∠AOB=∠A1O1B1，且OA∥

A．OB∥O1B1

C．OB与O1B1不平行 D．OB

【变式1-1】（2022·全国·高一专题练习）如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，直线

A．l与AD平行 B．l与AD不平行 C．l与AC平行 D．