高中数学培优讲义练习（必修二）：专题9.3 用样本估计总体（重难点题型精讲）（学生版）.docxVIP

专题9.3用样本估计总体（重难点题型精讲）

1．频率分布直方图

(1)频率分布表与频率分布直方图的意义

为了探索一组数据的取值规律，一般先要用表格对数据进行整理，或者用图将数据直观表示出来.在初

中，我们曾用频数分布表和频数分布图来整理和表示这种数值型数据，由此能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数.

有时，我们更关心各个小组的数据在样本容量中所占比例的大小，所以选择频率分布表和频率分布直方图来整理和表示数据.

(2)频率分布表与频率分布直方图的制作步骤

与画频数分布直方图类似，我们可以按以下步骤制作频率分布表、画频率分布直方图.

第一步，求极差

极差为一组数据中最大值与最小值的差.

第二步，决定组距与组数

第三步，将数据分组

通常对组内数据取左闭右开区间，最后一组数据取闭区间.

第四步，列频率分布表

计算各小组的频率，作出频率分布表.

第五步，画频率分布直方图

画图时，以横轴表示分组，纵轴（小长方形的高度）表示.

2．其他几类常用统计图——条形图、折线图、扇形图

条形图

折线图

扇形图

特

点

一般地，条形图中，一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例，条形图中每一长方形都是等宽的.

用一个单位长度表示一定的数量，用折线的起伏表示数量的增减变化.

用整个圆表示总体，扇形图中，每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成正比.

作用及选用情景

能清楚地表示每个项目的具体数量，便于相互比较大小.

能清楚地看出数量增减变化的情况及各部分数量的多少.常用来表示随时间变化的数据，当然，也可以用在其他合适的情形中.

可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例情况.

图例

3．总体百分位数的估计

(1)概念

一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个

值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.

(2)求解步骤

可以通过下面的步骤计算一组n个数据的第p百分位数：

第1步，按从小到大排列原始数据.

第2步，计算i=n×p%.

第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p

百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.

4．总体集中趋势的估计

在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度

刻画了一组数据的集中趋势.具体概念回顾如下：

名称

概念

平

均

数

如果有n个数x1，x2，…，xn，那么（x1+x2+…+xn）就是这组数据的平均数，用表示，即=（x1+x2+…+xn）.

中

位

数

将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据（当数据个数是奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数是偶数时）称为这组数据的中位数.

众

数

一组数据中出现次数最多的数据（即频数最大值所对应的样本数据）称为这组数据的众数.

5．总体离散程度的估计

(1)方差和标准差

假设一组数据是，，，，用表示这组数据的平均数，则我们称为这组数据的

方差.有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成的形式.

我们对方差开平方，取它的算数平方根，称为这组数据的标准差.

(2)总体（样本）方差和总体标准差

①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为，，，，总体平均数为，则总体方差=

.

②加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(kN)个，不妨记为，，，，其中出

现的频数为(i=1，2，，k)，则总体方差为=.

总体标准差：S=.

(3)标准差与方差的统计意义

①标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小.

②在刻画数据的分散程度上，方差与标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差.

③标准差(方差)的取值范围为[0,+).若样本数据都相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性，则

标准差为0.反之，标准差为0的样本，其中的数据都相等.

6．频率分布直方图中的统计参数

(1)频率分布直方图中的“众数”

根据众数的意义可知，在频率分布直方图中最高矩形中的某个(些)点的横坐标为这组数据的众数.一般用

中点近似代替.

(2)频率分布直方图中的“中位数”

根据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数.

因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值.

(3)频率分布直方图中的“平均数”

平均数是频率分布直方图的“重心”.因为平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分

布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积