高中数学培优讲义练习（选择性必修二）：专题4.1 数列的概念（重难点题型精讲）（教师版）.docxVIP

专题4.1数列的概念（重难点题型精讲）

1．数列的概念

数列的定义

一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一

个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示.其中第1项也叫做首项.

2．数列的分类

3．数列的通项公式

如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这

个数列的通项公式.

4．数列的递推公式

(1)递推公式的概念

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.

(2)对数列递推公式的理解

①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式.

②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.

如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.

③用递推公式求出一个数列，必须给出：

基础——数列{}的第1项(或前几项)；

递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项()(或前几项)间的关系，并且这个关系可

以用等式来表示.

5．数列表示方法及其比较

6．数列的前n项和

数列{}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{}的前n项和，记作，即=+++.

如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做

这个数列的前n项和公式.

=.

7．数列的性质

(1)单调性

如果对所有的，都有，那么称数列{}为递增数列；如果对所有的，都有

，那么称数列{}为递减数列.

(2)周期性

如果对所有的，都有=(k为正整数)，那么称{}是以k为周期的周期数列.

(3)有界性

如果对所有的，都有，那么称{}为有界数列，否则称{}为无界数列.

【题型1根据数列的前几项写出数列的一个通项公式】

【方法点拨】

根据数列的前几项写出其一个通项公式的方法：首先从下面4个角度观察数列的前几项：(1)各项的符号特

征；(2)各项能否分拆；(3)分式的分子、分母的特征；(4)相邻项的变化规律.其次寻找各项与对应的项的序号

之间的规律.

【例1】（2022·甘肃·高二期中）数列32,?5

A．2n?12n

C．(?1)n+12n+12

【解题思路】根据分子、分母和正负号的变化即可得出通项公式.

【解答过程】解：由题意，

在数列32

分母是以2为首项，2为公比的等比数列

分子是以3为首项，2为公差的等差数列，

∵数列的奇数项为正数，偶数项为负数，

∴比例系数为(?1)

∴数列的一个通项公式为：

an

故选：C.

【变式1-1】（2022·重庆高二阶段练习）数列?1,13,?

A．an=?1

C．an=?1

【解题思路】令n=1，代入各选项直接得出答案.

【解答过程】由题意得，令n=1，

A选项：a1

B选项：a1

C选项：a1

D选项：a1

故选：D.

【变式1-2】（2022·浙江·高二开学考试）已知数列an的前4项为：1，?12，14，?1

A．an=12n B．an=

【解题思路】分母与项数n关系是是2n?1

【解答过程】正负相间用(?1)n?1表示，∴a

故选：D.

【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是an=（

A．1910n

C．131?1

【解题思路】根据0.3，0.33，0.333，0.3333，…与9，99，999，9999，…的关系，结合9，99，999，9999，…的通项公式求解即可.

【解答过程】数列9，99，999，9999，…的一个通项公式是bn=10n?1

故选：C．

【题型2判断数列的项】

【方法点拨】

根据题目条件，结合数列的通项公式，判断所给的数是否满足数列的通项公式，求出该数所对应的项数n，即可得解.

【例2】（2022·福建·高二阶段练习）若一数列为1，37，314，321，…，则3

A．不在此数列中 B．第13项 C．第14项 D．第15项

【解题思路】根据给定的4项，写出数列的一个通项公式即可计算作答.

【解答过程】因1=37×0,

由37(n?1)=3

所以398

故选：D.

【变式2-1】（2022·广东佛山·高二期末）已知数列an的通项公式为an=

A．2 B．3 C．4 D．5

【解题思路】利用通项公式直接求解.

【解答过程】令an=n2+n=12

故选：B.

【变式2-2】（2022·四川省高一阶段练习（理））已知数列an的通项公式为an=3n?1

A．第1项 B．第2项 C．第3项 D．第10项

【解题思路】由已知条件，根据通项公式求出n即可得答案.

【解答过程】因为数列{an}

令