4.3.1 对数的概念与对数运算（两课时） 课件.pptx

4.3对数4.3.1对数的概念

对数的发明对数的主要作用是简化运算对数的概念,首先是由苏格兰数学家纳皮尔提出的.那时候天文学是热门学科,可是由于数学的局限性,天文学家不得不花费更多的精力去计算那些繁杂的“天文数字”,浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.经过20年潜心研究大数的计算技术,他终于发明了对数,并在1614年出版的名著《奇妙的对数定律说明书》中阐明了对数原理,后人称为纳皮尔对数.

解下列方程

对数概念一般地，如果ax=N(a0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数注意：①对数的书写格式?当a0,a≠1时，ax=Nx=㏒aN?a0,a≠1;真数N0④㏒aN是一个整体，可看作求x一种记号

常用对数:以10为底,记作lgN.即log10N记做lgN自然对数:以无理数e=2.71828…为底,记作lnN.即logeN记做lnN

对数与指数的关系当a0,a≠1时，ax=Nx=㏒aN※性质?0和负数没有对数，即N0；?1的对数等于0，即loga1=0；?底数的对数等于1，即logaa=1；④对数恒等式

探究角度1对数式与指数式的互化[例1]将下列对(或指)数式化成指(或对)数式.(2)logx64=-6;

即时训练1-1:利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值.(2)logx25=2;(3)log5x2=2;(2)由logx25=2,得x2=25.因为x0,且x≠1,所以x=5.(3)由log5x2=2,得x2=52,所以x=±5.因为52=250,(-5)2=250,所以x=5或x=-5.

探究角度2对数的底数、真数概念的理解[例2]求下列各式中x的取值范围.(1)log(2x+1)(x+2);

即时训练2-1:求下列各式中x的取值范围:(1)log0.5(x-3);解:(1)要使原式有意义,则x-30,故x的取值范围为(3,+∞).(2)log(x-1)(2-x).

探究点二对数的性质[例3]求下列各式中的x的值.(1)log8[log7(log2x)]=0;解:(1)由log8[log7(log2x)]=0,得log7(log2x)=1,即log2x=7,所以x=27.(2)log2[log3(log2x)]=1.解:(2)由log2[log3(log2x)]=1,所以log3(log2x)=2,所以log2x=9,所以x=29.

即时训练3-1:求下列各式中x的值.(1)lg(lnx)=1;解:(1)由lg(lnx)=1得lnx=10,所以x=e10.(2)lg(lnx)=0.解:(2)由lg(lnx)=0得lnx=1,所以x=e.

[例4]求下列各式的值.探究点三对数恒等式及其应用

A.14 B.0 C.1 D.6

对数运算——对数的运算性质

对数的基本性质（1）负数和零没有对数,即（N0)

证明：①设由对数的定义可以得：∴MN=即证得对数的运算性质1、证明:1)简易语言表达:“积的对数=对数的和”

证明：②设由对数的定义可以得：∴即证得2、证明:2)简易语言表达:“商的对数=对数的差”

证明：设由对数的定义可以得：∴即证得3、证明:一个正数的n次方的对数=这个正数的对数n倍

对数的运算性质如果a0,且a≠1,M0,N0,那么：（2）loga(MN)=logaM+logaN（1）logaMn=nlogaM(n∈R)

探究点一对数运算法则[例1]计算:(1)(lg5)2+2lg2-(lg2)2;解:(1)原式=(lg5)2+(2-lg2)lg2=(lg5)2+(1+lg5)lg2=(lg5)2+lg2·lg5+lg2=(lg5+lg2)lg5+lg2=lg5+lg2=1.

探究点一对数运算法则[例1]计算:

即时训练1-1:计算:

(2)lg2×lg50+lg5×lg20-lg100×lg5×lg2;解:(2)原式=lg2×(lg5+1)+lg5×(2lg2+lg5)-2lg5×lg2=lg2lg5+lg2+lg5lg5=lg5(lg2+lg5)+lg2=lg5+lg2=1.

方法总结(1)利用对数的运算性质进行对数式的化简与计算.一般有两种思路:一是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;二是将式中对数的和、差、积、商逆用对数的运算性质化为真数的积、商、幂、方