河北省秦皇岛市青龙满族自治县青龙实验中学联考2023届高三冲刺卷（三）数学试题（含答案解析）.docx

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河北省秦皇岛市青龙满族自治县青龙实验中学联考2023届高三冲刺卷（三）数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．集合，，则（????）

A． B．

C． D．

2．复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的范围为（????）

A． B．

C． D．

3．已知，，若，则向量的夹角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

4．某小学从2位语文教师，4位数学教师中安排3人到西部三个省支教，每个省各1人，且至少有1位语文教师入选，则不同安排方法有（????）种．

A．16 B．20 C．96 D．120

5．已知定义域为的函数满足，，当时，，则的值为（????）

A． B． C．1 D．2

6．如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为，它的内切球的体积为，则（????）

A． B．

C． D．

7．函数的图象关于直线对称，则在上的最小值为（????）

A． B． C． D．

8．已知函数，若恒成立，则的最大值是（????）

A． B．1 C．2 D．

二、多选题

9．已知函数，则下列结论正确的是（????）

A．恒成立

B．只有一个零点

C．在处得到极大值

D．是上的增函数

10．如图，棱长为2的正方体中，，，，，则下列结论中正确的是（????）

??

A．存在y，使得

B．当时，存在z使得∥平面AEF

C．当时，异面直线与EF所成角的余弦值为

D．当时，点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍

11．已知圆，直线，则下列结论正确的是（????）

A．存在实数k，使得直线l与圆C相切

B．若直线l与圆C交于A，B两点，则的最大值为4

C．当时，圆C上存在4个点到直线l的距离为

D．当时，对任意，曲线恒过直线与圆C的交点

12．已知抛物线的准线为，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于，两点，于，则下列说法正确的是（????）

A．若，则

B．以PQ为直径的圆与准线l相切

C．设，则

D．过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条

三、填空题

13．已知的展开式中的系数为，则实数．

14．设函数．

15．我们通常称离心率为的双曲线为“黄金双曲线”，写出一个焦点在x轴上，对称中心为坐标原点的“黄金双曲线”C的标准方程．

四、双空题

16．在平面曲线中，曲率（curvature）是表示曲线在某一点的弯曲程度的数值，如图，圆、、在点Q处的弯曲程度依次增大，而直线在点Q处的弯曲程度最小，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率，则余弦曲线在处的曲率为；正弦曲线曲率K的平方的最大值为．

????

五、解答题

17．已知数列的前n项和为，，．

(1)求数列的通项；

(2)设，求数列的前n项和．

18．某班从6名男生和4名女生中，随机抽取5人组成数学兴趣小组，另5人组成物理兴趣小组．

(1)求数学兴趣小组中包含男生A，但不包含女生a的概率；

(2)用X表示物理兴趣小组中的女生人数，求X的分布列与数学期望．

19．在中，内角A，B，C对应的边分别为，，都是整数．

(1)求；

(2)若的中点为，求．

20．如图，四棱锥中，四边形ABCD为梯形，，，，，，M，N分别是PD，PB的中点．

(1)求证：直线平面ABCD；

(2)求平面MCN与平面ABCD夹角的余弦值．

21．如图，椭圆的左、右顶点分别为A，B．左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆C上．

??

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知P，Q是椭圆C上两动点，记直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，．过点B作直线PQ的垂线，垂足为H．问：在平面内是否存在定点T，使得为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，试说明理由．

22．已知函数，，．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若，证明：对任意的，恒成立．

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参考答案：

1．C

【分析】求出集合A，再利用并集的定义求解作答.

【详解】依题意，，而，

所以.

故选：C

2．C

【分析】根据复数的四则运算进行化简，进而确定不等式，解不等式即可.

【详解】由，

复数在复平面内对应的点位于第二象限，

则，解得，

故选：C．

3．B

【分析】根据向量垂直及数量积的运算律有，应用数量积、