以一道高考试题为背景的高三复习课的教学设计-最新教育文档.docxVIP

以一道高考试题为背景的高三复习课的教学设计

几乎全部的考生都害怕解析几何，但解析几何是每年必考的题，看来突破解析几何这一瓶颈便成了一大重点.细致分析每年的高考题，我们会发觉解析几何题具有很强的规律性，在每一个题中总是若隐若现的出现那种“看似无形却有形、犹抱琵琶半遮面”的情景，与其大量的去做题,把自己累得喘不过气来，还不如对每一个题都细致在分析一番，发觉规律,找到共性，这才是事半功倍的做法.

题目：已知定点A(-1,0),F(2,0),定直线1：x二，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线1的距离的2倍.设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B,C两点，直线AB,AC分别交1于点M,N.

(1)求E的方程；

(2)试推断以线段MN为直径的圆是否过点F?并说明理由.

该题为2010年高考四川卷第20题，文理相同，第1问是以人教社A版选修2—1P59例题5改编的，第2问是圆锥曲线的一特性质，带有数学探究的意味，考查解析几何的通性通法，考查直线、轨迹方程、双曲线的定义以与直线与双曲线的位置关系等基础学问，考查平面解析几何的思想方法和推理运算实力.

解法探究

第1问入手简洁，学生很快给出了答案x2—=1(yWO),但多数学生漏掉了yWO,这是学生在求解轨迹问题时简洁犯的错误，教学中应予以重视，加以强调.

对于第2问，学生感觉问题比较熟悉，是一个直线与双曲线位置关系的综合问题，求解的基本思路是：将直线方程代入双曲线方程，围绕所得的一元二次方程的根，运用“设而不求、整体代入”的思路来解决.

老师：对于待证结论“以线段MN为直径的圆是否过点F”如何转化？

学生：转化为_L,即•=0.

顺着这一颇为自然的思路走下来，学生却感到运算有些吃力，在师生的共同努力下，完成了下面解法.

解法1：①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y二k(x-2)

(kWO),与双曲线x2—=1联立消去y,得

(3-k2)x2+4k2x-(4k2+3)=0.

由题意知3—k2W0且A>0,

设B(xl,yl),C(x2,y2),

则xl+x2=,xlx2二,

yly2=k2(xl—2)(x2—2)=k2[xlx2—2(xl+x2)+4]=k2++4=一.

因为xl,x2W—l,

所以直线AB的方程为产(x+1),M点的坐标为，，

二-，，同理可得，=-,.

因此•=-2+=+=0.

②当直线BC与x轴垂直时，方程为x=2,则B(2,3),C(2,-3),

AB的方程为y=x+l,因此N点的坐标为，，

同理可得二一，，因此•=0.

综上•=0,即JL.

故以线段MN为直径的圆经过点F.

老师：在探讨直线与圆锥曲线位置关系的问题时，若用点斜式和斜截式方程，要考虑斜率是否存在.若不能推断，则要探讨；也可以变更直线方程的形式，避开探讨.

学生：依据题目条件可设直线BC方程为x=ty+2.

解法2：因为直线BC与x轴不平行，故可设直线BC的方程为x=ty+2,联立方程x2—=1,x=ty+2,消去x,整理得(3t2—1)y2+12ty+9-0.设B(xl,yl),C(x2,y2),则yl+y2=—,yly2=,xl+x2=—,xlx2=—.

由解法1,•二+二+二0,

综上，•=0,即FMJ_FN.

故以线段MN为直径的圆经过点F.

至此，问题虽得到解决，解法2较解法1有所改进，但本质没变，学生仍感觉不满意：运算较繁，都渴望找寻到更简捷的解法.

老师：著名的数学教化家波利亚说过：“没有一道题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做，经过充分的探讨与钻研，总会有点滴的发觉，总能改进这个解答，而且在任何状况下，我们能提高自己对这个解答的理解水平.”

老师：对于问题，确定要对条件、结论进行分析、探讨和转化，从不同的角度和层面去相识它.我们已经将结论“以线段MN为直径的圆是否过点F”转化为•=0,则结合题目条件和图形特征(此时运用几何画板作出精确的图形)，能进行不同的转化吗？

学生：留意到A,F关于直线1对称，结合双曲线的对称性，要证_L,只需证AMLAN,即ABLAC.

解法3：由解法2得，yl+y2=—,yly2=,

•=(xl+1)(x2+l)+yly2=(tyl+3)•(ty2+3)+yly2=

(t2+l)yly2+3t(yl+y2)+9

=++9=0,

所以ABJ_AC,即AMJ_AN.

又A,F关于直线1对称，所以NMFN=90°.

故以线段MN为直径