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第1章逻辑代数基础1.1概述1.2数制与编码1.3逻辑运算1.4逻辑代数的基本定理及常用公式1.5逻辑函数及其表示方法1.6逻辑函数的化简

1.1概述

1.1.1数字信号与数字电路

1.数字电路与数字信号概述

电子线路根据工作信号的不同可分为模拟电路和数字电路。简单地说，工作于模拟信号之下的电路称为模拟电路，工作于数字信号之下的电路称为数字电路。

人们从自然界感知的许多物理量均属于模拟性质，如速度、压力、温度、声音等。模拟信号是时间连续、数值也连续的物理量，它具有无穷多的数值，其数学表达式也较复杂，如正弦函数、指数函数等。

图1.1所示为模拟信号波形。

图1.1模拟信号波形

数字信号在时间上和数值上均是离散的，常用数字0和1来表示。图1.2所示为数字信号波形。这里的0和1不是十进制的数字，而是逻辑0和逻辑1，因而称为二值数字逻辑或简称为数字逻辑。

图1.2数字信号波形

2.数字电路的优点

数字电路被广泛应用于数字电子计算机、数字通信系统、数字式仪表、数字控制装置及工业逻辑系统等领域。数字电路大致包括信号的产生、放大、整形、传送、控制、存储、计数、运算等组成部分。

与模拟电路相比，数字电路具有以下显著的优点：

(1)结构简单，便于集成化、系列化生产，成本低廉，使用方便。

(2)抗干扰性强，可靠性高，精度高。

(3)处理功能强，不仅可以实现数值运算，还可以实现逻辑运算和判断。

(4)可编程数字电路可容易地实现各种算法，具有很大的灵活性。

(5)数字信号更易于存储、加密、压缩、传输和再现。

1.1.2数字电路的特点与分类

1.数字电路的特点

(1)数字电路研究的主要问题是输入信号状态(0或1)与输出信号状态(0或1)之间的因果关系，也称为逻辑关系，即研究电路的逻辑功能。

(2)在数字电路中只规定高电平的下限值和低电平的上限值，凡大于等于高电平下限值的都认为是高电平1；凡小于等于低电平上限值的都认为是低电平0，而不再着重研究它们的具体数值。

(3)研究数字电路逻辑关系的主要数学工具是逻辑代数。在数字电路中输入信号称为输入变量，输出信号称为输出变量，也称逻辑函数，它们都是二值变量，取值非0即1。

2.数字电路的分类

(1)按不同的集成度分类：数字电路可分为小规模、中规模、大规模、超大规模和甚大规模等五类。所谓集成度，是指每一芯片所包含三极管的个数。表1.1列出了五类数字集成电路的分类依据。

(2)按所用器件制作工艺的不同分类：数字电路可分为双极型(TTL型)和单极型(MOS型)两类。

(3)按照电路的结构和工作原理的不同分类：数字电路可分为组合逻辑电路和时序逻辑电路两类。

1.1.3数字电路的发展

数字电路的发展经历了由电子管、半导体分立器件到集成电路的过程。从20世纪60年代开始，数字集成器件以双极型工艺制成了小规模逻辑器件，随后发展到中规模；70年代末，微处理器的出现使得数字集成电路进入了大规模、超大规模阶段，其性能也产生了质的飞跃。

1.2数制与编码

1.2.1几种常用的计数体制

数制就是表示数值大小的各种计数体制。在日常生活中，人们习惯采用的计数体制是十进制，即规定的“逢十进一”。在数字电路中经常使用的计数体制除了十进制以外，还包括二进制、八进制和十六进制。

1.十进制

十进制的任何一个数都可以用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9等十个数码按一定的规律排列来表示，其计数规律是“逢十进一”，即9+1=10。十进制可用下标“D”或“10”表示，也可以省略该下标。十进制的基数为10，十进制数中第i位上数字的权为10i。利用基数和权，可以将任何一个数表示成多项式的形式。

例如，十进制的45.67可以表示为

(45.67)D=4×101+5×100+6×10-1+7×10-2

一般情况下，任何一个十进制数N可以表示为

2.二进制

二进制与十进制数的区别在于数码的个数和进位的规律不同，十进制数用十个数码，并且“逢十进一”；而二进制数用两个数码0和1，并且“逢二进一”。二进制用下标“B”或“2”表示。二进制的基数为2，二进制中第i位上数字的权为2i。任何一个二进制数N可以表示为

例如，二进制数(1101.01)2可以表示为

3.八进制和十六进制

二进制数通常位数很多，不便于书写和记忆，因此在数字计算机的资料中也常采用八进制数或十六进制数。

八进制的基数为8，采用的8个数码为0、1、2、3、4、5、6、7，进位规则为“逢八进一”。八进制用下