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等差数列前n项和的最值问题

TOC\o1-5\h\z问题引入:已知数列｝的前门项和S=n2+1n，求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗?如果是，它的首项与公差分别是什么？解:n n2

c1 1 1 1 3

当n1时:a=s—s=...=2n――当n=l时:a=s=12+—x1=—nn n-1 2 1 1 2 2

综上:a=2n——，其中:a —，d=2

探究1：-般地，如果一个数列｛气｝的前n项和为:、广pn2+qn+r，其中:p.q.r为常数，且p。0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么?结论:当r=0时为等差，当r。0时不是

一、应用二次函数图象求解最值

中，n例1：等差数列中，a1°，S4—S9，则n的取值为多少时？Sn

中，

n

分析：等差数列的前n项和气是关于n的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。

n(n一1)[d,d、解析：由条件。]°,七=S可知/d0,且S=na^+ d=—n2+(^――)n,

n

4+9 ,一

其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为n=—=6.5,而neN*,且6.5介于6与7的中点，从而n=6或n=7时Sn最大。

1-已知等差数列｛an｝中七=13且S3=S]]，那么n取何值时，Sn取最大值.

a0 115—2n0a10即［15—

a0 115—2n0

a10即［15—2(n+1)0

得:6.5n7.5,所以n=7时，S取最大值.

n

2.已知an是各项不为零的等差数列，其中a10,公差d0,若S10=0，求数列an前5项和取得最大值.

结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数.an是各项不为零的等差数列，其中a】0,公差d0,S10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n=^误!未找到引用源=5时，数列an前5项和取得最大值.

二、转化为求二次函数求最值

例2、在等差数列｛an｝中，a4=-14,公差d=3,求数列｛an｝的前n项和Sn的最小值

分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。

TOC\o1-5\h\z解析：，「a=a+3d，a-14=a+9，a=-23，as=-23n+—k—-=~[(n^~)2- ]，

4 1 1 1 n 2 2 6 36

a当n=当最小时，S最小，但由于neN*，当介于8与9之间，S=TOO,S=一996 n— 6 8 9

即有且S8S9,故当n=8S8=-100最小.

点评：通过条件求出a，从而将5转化为关于n的二次函数，然后配方求解，但要注意的是此处49介于8与9之间，但并不能1n 6

取两个整数，判断的标准是对称轴是否处于两个整数中点，否则只有一个取值。

3.已知等差数列W中，前n项和%=n2—15n，则使Sn有最小值的n是(B)

A、7 b、7或8 C、8 D、9

已知an是等差数列，其中a1=31,公差d=-8,则数列an前n项和的最大值为76 .

分析：(1)根据数列的首项和公差写出数列的前n项和，它是关于n的二次函数，二次项的系数小于零，函数存在最大值，结合二次函数的最值得到结果，注意变量n的取值.

解答：解：(1)?「an是等差数列，其中a1=31，公差d=-8,「.数列an前n项和sn=-4m+35n,

根据二次函数的性质，当n=错误!未找到引用源。时前n项和sn取到最大值nuN,「.n=4,.?.前n项和sn的最大值是sn=-64+140=76,

已知一个等差数列的前1°项的和是“°，前20项的和是20.求此等差数列的前n项和S，并求出当n为何值时，S最大，最大

值是多少？Sn=-n2+2W当n=10或11时，取最大值为110

已知｛an｝为等差数列，a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99，以Sn表示｛an｝的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是

设｛an｝的公差为d，由题意得a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即

1)

a1+3d=33，②由①②联立得a1=39,d=-2,.sn=39n+―2—