第八章回归方程的函数形式.docx

第八章---回归方程的函数形式

第八章回归方程的函数形式

l=J回忆参数线性模型和变量线性模型(见5.4)。我们所关注的是参数线性模型，而并不要求变量乂与乂一定是线性的。

l=J

在参数线性回归模型的限制下，回归模型的形式也有多种。

我们将特别讨论下面几种形式的回归模型：

对数线性模型(不变弹性模型)

半对数模型。

双曲函数模型。

多项式回归模型。

l=J

w上述模型的都是参数线性模型，但变量却不一定是线性的。

l=J

w

8.1三变量线性回归模型

以糖炒栗子需求为例，现在考虑如下需求函数：

Y=AXB2 (8-1)

此处变量Xi是非线性的。但可将式(8-1)做恒等变换表示成另一种形式：

lnYi=lnA+B2lnXi

TOC\o1-5\h\z)

其中，In表示自然对数，即以e为底的对数;令

\oCurrentDocumentB1=lnA (8-

)

可以将式(8-2泻为：

lnYi=B1+B2lnXi (8

-4)

加入随机误差项，可将模型(8-4泻为：

lnYi=B1+B2lnXi+ui (8-

5)

(8-5)是一个线性模型，因为参数B1和B2是以线性形式进入模型的；形如式(8-5)的模型称为双对数模型或对数-线性(log-linear)模型

一个非线性模型可以通过适当的变换转变为线性(参数之间)模型的：

令Yi*=lnYi,

Xi*=InXi

则(8-5)可写为：

Yi*=B1+B2Xi*+ui6)

这与前面讨论的模型相似：它不仅是参数线性的，而且变形后的变量Y*与X*之间也是线性的。

如果模型（8■6）满足古典线性回归模型的基本假定，则很容易用普通最小二乘法来估计它，得到的估计量是最优线性无偏估计量。

双对数模型（对数线性模型）的应用非常广泛，原因在于它有一个特性：

斜率B2度量了丫椒的弹性。如果Y代表了商品的需求量，X代表了单位价格，AY代表Y的一个小的变动，AX代表的一个小的变动（△Y/AX是dY/dX的近似），E是需求的价格弹性，定义弹性E为：

E= Y100/Y

X100/X

=YX

5Y

△

△4

△

=斜率XX

X

对于变形的模型(8-6)

B2=Y*=lnY

X*一lnX

=Y/Y=YX

IX/X—W

可得B2是Y对X的弹性。因为

lnYd命丫_1

Y^^T~y

lnYq_￡

Y

l=J

三l=J

l=J

三

l=J

△

△

图8-12描绘了函数式(8-1),图8-2b是对式(8-1)做对数变形后的图形。图8-1b中的直线的斜率就是价格弹性的估计值(-B2)。

价格 价格（对数）

a） b）

由于回归线是一条直线（Y和X都采取对数形式），所以它的斜率（一B2）为一常数；又由于斜率等于其弹性：所以弹性为一常数一它与X的取值无关。

由于这个特殊的性质，双对数模型（对数线性模型）又称为不变弹性模型。

例8.1对炒栗子的需求

回顾炒栗子一例的散点图，不难发现需求量和价格之间是近似线性关系的，因为并非所有的样本点都恰好落在直线上。如果用对数线性模型拟合表8-1给出的数据，情况又会怎样？

需求量F

价格X

1117

hiZ

49

1

3.8918

0.000(

45

3.8067

0.693]

44

3

J.7842

1.09SC

39

4

3.6636

1.386j

3S

5

3.6376

1,609匕

37

6

3.6109

1.791￡

34

7

3.5264

1.945￡

33

S

3.4965

2.079-

30

9

3.4012

2.197；

29

10

3.3673

2.302(

OLS回归结果如下：

lnYi=3.9617-0.2272lnXi

se=(0.0416)(0.0250) (8-

8)

t=(95.233)-(9.0880)

r2=0.9116

可知价格弹性约为一0.23，表明价格提高1个百分点，平均而言需求量将下降0?23个百分点。

截距值3.96表示7lnX为零时，lnY的平均值，没有什么具体的经济含义。

r2=0.9166,表示logX解释了变量logY91%的

变动。

对数线性模型的假设检验

线性模型与对数线性模型的假设检验并没

有什么不同。在随机误差项服从正态分布(均值为0,方差为82)的假定下，每一个估计的回归系数均服从正态分布。

如果用82的无偏估计量S2代替，则每一个

估计的回归系数服从自由度为(n—k)的境布，其中k为包括截距在内