第十一讲函数奇偶性.docx

函数奇偶性

一、知识梳理：

知识点一 偶函数：一般地，如果对于函数f(X)的定义域内任意一个x，都有

f(-X)=f(x)，那么函数f(X)就叫做偶函数。例：f(x)=x2

知识点二 奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有

f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。例：f(x)=3x

注：定义域在数轴上所示的区间关于原点对称，是奇函数或偶函数的一个必不可少的条

件。例：J=x2在区间(-3,+3)上时偶函数，但在区间［-1,2］上却无奇偶性可言了。

知识点三奇函数、偶函的性质

y=f(x)是奇函数oy=f(x)的图象关于原点对称；

y=f(x)是偶函数oy=f(x)的图象关于y轴对称。

例1、已知y=f(x)是偶函数，且图象与x轴有四个交点，则方程f(x)的所有实根之和是()

A、4 B、2 C、1 D、0

、若是奇函数f(x)且在x=0处有定义，则f(0)=0

、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反

、奇偶函数的运算性质：在公共定义域内有：

奇土奇=奇(函数) 偶土偶=偶(函数)奇乂奇=偶(函数)

偶乂偶=偶(函数) 奇乂偶=奇(函数)

注：以上结论是在两函数的公共定义域内才成立；并且只能在选择题、填空题中直接应用，解答题需先证明再利用。

、对称性：奇(偶)函数的定义域关于原点对称，且这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；

、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立；

、可逆性：f(-x)=f(x)of(x)是偶函数；

f(-x)=-f(X)9f(X)奇函数;

、等价性：f(-X)=f(X)9f(-X)-f(X)=0

f(-X)=-f(X)9f(-X)+f(X)=0

、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既奇又偶的函数(有且只有一类，即f(x)=0，XeD)、非奇非偶函数。

二、基本方法

函数奇偶性的判断

1、 定义法：定义域(关于原点对称)T验证f(-X)=±f(X)T下结论

2、 图像法：

3、 性质法：(定义域相同)

4、 分段函数奇偶性的判断

例2、判断函数f(x)=[X(X-1)，X-0的奇偶性

-X(X+1),X0

利用函数奇偶性求函数的值

例3、已知f(x)=ax5+bx3+cx-8，且f(d)=10，求f(-d)

利用函数奇偶性求函数解析式

例4、已知f(x)是偶函数，且当X0时，求f(x)=xIx-2I，求X0时，f(x)的解析

式。

（四）利用函数奇偶性解抽象函数不等式例5、设f（x）在R上时偶函数，在区间（-3,0上递增，f(2

（四）利用函数奇偶性解抽象函数不等式

例5、设f（x）在R上时偶函数，

在区间（-3,0上递增，

f(2a2+a+1)f(3a2-2a+1)，求a的取值范围。

三、典例分析

考点一、判断函数的奇偶性

例6、判断下列函数的奇偶性

(2)f(x)=— (3)f(x)=\x2-1+5-x2

1 … ~

—x2+1(x0)

(4)f(x)=j2

1

-—x2一1(x0)

(5)f(x)=x+1

拓展延伸:

例7、判断下列函数的奇偶性

(1)f(x)=(x-1)

1+x

1一x

（2）

x2+x(x0)f(x)=

—x2+x(x0)

(3)f(x)=x+2+x一2

(4)f(x)=凶(x-1)0

x

考点二、利用函数奇偶性求解析式

例8、已知f（x）是定义域为R的奇函数，当x0时，

解析式。

拓展延伸：

例9、已知f(x)函数是定义在(_3,+3)上的偶函数，当XG(-3,0)时，f(X)=X-X4,

贝0当XG(0,+3)时，f(X)=

考点三、奇偶性与单调性结合

例10、定义在(-1,1)上的奇函数f(x)在整个定义域上减函数，若

f(1-a)+f(1-3a)0，求实数a的取值范围。

拓展延伸：

例11、已知函数f(X)是定义在(-3,0)D(0,+3)上的奇函数，又f(X)在(0,+3)上减

函数且f(x)0，问F(X)=1在(-3,0)上时增函数还是减函数？并说明你的结论。f(