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第二章极限与连续

极限理论是高等数学的基础，高等数学中包含导数，积分等概念都是用极限描述的。

本章包含数列的极限、级数、函数的极限，函数的连续性的概念、无穷小量与无穷大量的概念。

本章约占考试内容10%。

§2.1数列及其极限

一、数列的概念

定义2.1一列有顺序的数

a,a，…，a，…

叫数列。2其中a叫第n项，也叫通项。

数列可以简单记?作｛an｝，即

｛a｝=a,a，…，a,…

【例1】n数列1,2,3,?n,n,…的通项an=n。

.??记作1,2,3,…，n,…=｛n｝。

11,￡1

【例2】数列1,云3,?,危…的通项a。％。

LL1 1

「?记作1,2,3,?,…=｛“｝。

1LJ_ J_

【例3】数列云看￡…，广，…的通项气=广。

111J_nJ_

???记作2,打,们…，3..=｛W｝。

【例4】数列1,-1,1,-1,?,(-1)n+1,…的通项an=(-1)n+1。

?记作1,-1,1,-1,?,(-1)n+1,…=｛(-1)n+1｝。

二、数列的极限

定义2.2如果当n无限增大时(记作n—8)，数列｛a｝=a,a，…，a,…

的通项an与一个常数a无限接近，就说数列｛an｝的极限是a，1记作n

lim%=13或】x—133t°3)M—+ij：i■

这时，也说数列｛a｝是收敛的且收敛于常数a。否则，就说数列｛a｝是发散的。 n n

11.1

【例5】讨论数列｛13,3,?,孔…的敛散性。

解：因为通项a=E

n

所以lima=lim-1=0

所以

所以数列｛日｝收敛且收敛于0。

【例6】讨论数列

【例6】讨论数列

=111...

V*M的敛散性。

解：因为通项通过下表可以看出

n

12

3

4

5

6 ■■■

=(顼

[]_

￡

]_

]…

2

2 4

8

16

32

64

L

当n—8时，a

当n—8时，a=n

hm=hm

所以有…h

L

所以数列｛(^)

一般地，若la|

(顼二0

HT82

n｝收敛且收敛于0。

1,则a越变越小，无限接近于零。即有重要结果n

当lai1时，liman=0

【例7】讨论数列｛2n｝=2,4,8,16,…，2n，…的敛散性解：通过下表可以看出

n

1

2

3

4

5

6 ■■■

=磐

2

4

8

16

32

64…

当n—8时，a=2n也无限变大，可以记作

lima=lim2=oo

因为符号8不是常数，所以数列｛2｝发散。

一般地有下面结果： n

当IaI1时，lima=oo

【例8】说明数列卜甲1是收敛的，并求其极限。

(T)”

=1+-_—

解：再，虽然随着n的增大，气的值有时比1大，但是当n

(T)J_

无限增大时，“摆的量的绝对值打是趋向0的，所以，an离1距离越来越近，且无限接近，由极限的定义知

?-z-用

..?数列 收敛且收敛于1。

三、收敛数列的性质

下面介绍收敛数列有下面性质：

性质1（极限的唯一性）

若艇V且姓眼疽

则必有a=b

性质1证明收敛数列的极限唯

性质2（收敛数列的保号性）

若畋2,则有

（1） 若a/0，则aN0；若a0则a颈。

（2） 若a0,则a0；若a0则a0。

四、数列极限的运算法则及存在准则

为了使我们能够从已知的简单数列的极限推求出更多、更复杂数列的极限，下述的极限四则运算法则是必须掌握的。（不证）

定理2.1若炒=七媛如云则

(1)姓

(1)

姓M+思=每5瓯妲气

(2)lim=lima?limb?=ab

(2)

MW甘n；

alimana

每?=芦七=? 若倒且苗山则临但二8

（3）此定理说明，由数列{a}（an）,（a

（3）

此定理说明，由数列{a}

（an）,（anbn—

虹收敛，且可以求出相应的极限值。

s、人limca?=clima^=ca

推论1i i*

n, {}的收敛就可推知更多数列

则临蔑W=（悠孑逾

有了极限的四则运算法则及其推论，再由我们前面已经知道的结果:蜡=0姓W=°（|a|1）就可求出更多、更复杂数列的极限。

【例9】求下列数列的极限:

「m+2lim

(1)

(2)

. 2m—用+2

m—T ——

3m+h+1

M+2

(3)

lim―j

—■Mm+2?-1

砂/Hl

(4)

(5)

(6)

「m+n+1lirn

* *-i

lim罪伊■闿

(7) 将+站+?-+翊，

其中a0,b0#0,k^l,l,

解：

(1)

(2)

(3)