1.5.3 Fourier级数及性质及收敛定理及证明.pptx

收敛定理:

定理若以为周期的函数在上按段

光滑,则在每一点的傅里叶级数收敛于f在点x的左、右极限的算术平均值,即

其中为的傅里叶系数.

1

1.5.3Fourier级数的性质

定理1(贝塞尔(Bessel)不等式)若函数f在

上可积,则

其中为的傅里叶系数.(1)式称为Bessel不等

式.

2

根据Fourier系数公式可得

3

考察积分

证令

由于

的积分.应用三角函数系的正交性,有

根据Fourier系数公式可得

对于

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因而

它对任何正整数m成立.而为有限值,

所以正项级数

的部分和数列有界,因而它收敛且有不等式(1)成立.

将(3),(4)代入(2)，可得

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因为(1)的左边级数收敛,所以当时,通项

,亦即有与,这就是(5)式,

这个推论称为Riemann引理.

推论1若f为可积函数,则

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推论2若f为可积函数,则

证由于

所以…

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其中

显见与和f一样在上可积.由推论1,(7)

式右端两项积分的极限在时都等于零.所以左边的极限为零.

同样可以证明

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定理2若是以2为周期的函数,且在

上可积,则它的傅里叶级数的部分和se可写成

来确定.9

当t=0时,被积函数中的不定式由极限

中,用傅里叶系数公式代入,可得

证在傅里叶级数部分和

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由上面这个积分看到,被积函数是周期为的函数,

因此在上的积分等于上的积分,再由下式,即

令,得

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(8)式也称为f的傅里叶级数部分和的积分表达式.

就得到

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现在证明(收敛定理).重新叙述如下:

定理若以为周期的函数在上按段

光滑,则在每一点的傅里叶级数收敛于f在点x的左、右极限的算术平均值,即

其中为的傅里叶系数.

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证只要证明在每一点x处下述极限成立:

或证明同时有

即

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先证明(10)式.对(9)式积分后得到

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与

由于上式左边为偶函数,因此两边乘以.0后

又得到

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从而(10)式可改写为

令

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再令则函数在点右连续.

因为在上至多只有有限个第一类间断点,

所以在上可积.根据定理1和推论2,

取极限得到

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这就证得(12)式成立,从而(10)式成立.

用同样方法可证(11)也成立.

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