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简单的论述哈密顿原理

摘要：证明力积分变量与变分无关的情况下积分运算与变分运算次序的可交换性，从不同角度论述了哈密顿原理的含义。

关键词：哈密顿原理，拉格朗日函数，变分，拉格朗日方程

引言

哈密顿原理是分析力学中几个重要原理之一，但它不是一个独立原理，它可已从其他原理推导出来，因而可以从不同角度说明它的物理含义。一般理论力学教材都是在拉格朗日方程两边同时乘以虚位移求所有自由度下的虚功之和，然后再求从位形1即：_」：?二】］s到位形2，即—：(:=_E之间或时间二至:

之间的作用量得出:二二二.最后变换成二二二*并没有说明最后一步为

什么要那样做，也没有说明那样做的意义。本文先证明当积分变量与变分无关的条件下积分运算与变分运算次序的可交换性，然后再从不同角度论述哈密顿原理的意义。

理论

2.1变分运算与积分运算次序的可交换性

为函二量提一:二

数的形式确定，是函数的“函数”。泛函与函数的概念略有不同，函数中的变量是可以变化的数值，而对于泛函处于自变量地位的是形式可以变化的函数。下面举例说明，如图1中有.-.，两个固定点，连接两个固定点之间的曲线的长度-由下式确定，即

J=LV1+(dy/dx)2cfe

显然，F依赖于函数上的选取，若函数上的形式发生变化，则曲线的形状随

之变化，曲线的长度也随之变化。长度-就是上的

泛函。

卜面证明变分运算与积分运算顺序的可交

换性，该泛函只依赖一个函数，即

(1)

自变量为二的函数表示为「二。函数的变分是函数的微变量，它与函数的微分有本

质有本质的不同，函数的微分=：，粗略的讲，它是由自变量二的变化引起的。

而函数的变分不是因为自变量二的变化，它是来自函数形式的变化引起，这种由

于函数形式变化造成的函数的变化称为函数的变分，记作【「。与函数」临近但形

式与「不同的函数有许多。

假设这些函数可以表示为如下的形式:

yfee)=yfeo)+et(x)

G(落时)=y(x,O)+et(x]

(2)

其中三是非常小的参数，-：：是任意给定的可微函数，因e二：时「：：：=「：：，函

数形式的变化决定于上式的第二项。因此函数的变分写成

Sy=ys)-yfeo)=r(x)

引入（2）式的记法（1）可记为

而

F[yftc0)+ 0)+Eifx),x]|dx

被积函数=,：:「：：：:［的形式是已知的，积分的上下限是固定的。当函数：

的形式上发生变化时，泛函就会发生变化，这种由于函数形式的变化引起泛函的

变化就为泛函-的变分，记作厂。现将被积函数-=::--I:::::--二：：：：］

在E=:处展开，并只保留线性部分，

F[y(K.O)+srfx).y(x0)+印(x}x]

=F[y(x),yfe),x]+

=F[y(x),yfe),x]+

dy+

E=D

dy+

E=D

ET(X)+

E=O

注意-=-?：：；-it::;■:::一厂：：：:［的变分不包含（3）式中的最后一项，因二是由于处于自变量地位的「二的形式变化引起的，而不是因为x变化引起的，故泛函」?：：的变分为

SF=F[y(K.O]+即依)逐(X0)+si(x),x]-Ffy(Dy(x)国

fF[y(x)Mx)

fF[y(x)Mx)甬dx

|SFdxSF=JFbr(x0)+ 0)+sr(x)?x]dx

|SFdx

f{F[y(xo)+ET(x)Jy(xJ0)+ET(x)*]-F[y(湖y(x)*Ddx=

上式积分变量为二，变分是由「二的形式变化引起，因此积分变量与变分无关时，

积分次序与变分次序可以交换。

哈密顿原理的数学表达式为

在（4）中代表体系的拉格朗日函数，其表达式为：二二-二即体系的动能和势

能之差，哈密顿称；M二为作用函数，它的量纲为功和时 /

间的乘积，单位为-人当它表示为端点时间和位置的函 ，.，人’

数时，也叫主函数，并以S表示。如图2所示，满足约

束许可条件的轨道有许多条。其中实线为真实轨道，而|

^2真实轨道与

可能物道示意梢虚线为真实轨道附近只满足约束所许可的条件，图2只画了一条。原理的含义为在约束所许可的许多条可能轨道中真实轨道的作用函数的变分为零。此原理给出了在卫星1即.二二S到位形2，即—（：.二二：之间真实轨道必须满足的条件就是哈密顿原理。

哈密顿原理是在拉格朗日方程

的两端同乘以［上然后对二从1到S求和

再对（6）从［到［:积分，即

因为

把（8）代入（7）式得

利用初始条件=-矢口（9）式左边第一项为零，从而有

因为（5）式中积分变量为t，而变分是由L的形式变化引起，积分变量与变分无关，所以积