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三角代数上的零点-lie可导映射

当a是数场f（现实主义或复合词c）的李e序列时，它是a到自己的位移。当a和ba且a、a和b0时，它们都有【a】、b】+a、（b）=0时，是零。我知道这是一个带的。它可以导致系统lee，无论是零导致系统还是零导致系统。如果是0，1，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，10，10，10，10，12，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0。

定义1设A是数域F上的一个相关代数,φ是一个A到自身的可加映射.

(ⅰ)如果对任意A、B∈A都有φ(AB)=φ(A)B+Aφ(B),则称φ是A上的可加导子;

(ⅱ)如果对任意A、B∈A且AB=0,都有φ(A)B+Aφ(B)=0,则称φ是A上的零点可导映射;

(ⅲ)如果对任意A、B∈A且AB+BA=0,都有φ(A)B+Aφ(B)+Bφ(A)+φ(B)A=0,则称φ是A上的零点Jordan可导映射;

(ⅳ)如果对任意A、B∈A且[A,B]=0,都有[φ(A),B]+[A,φ(B)]=0,则称φ是A上的零点Lie可导映射.

定义2设A、B分别是数域F上含单位元I1、I2的代数,M是(A,B)-忠实双边模.F-代数

U=Τri(A?M?B)={[AΜ0B]:A∈A,Μ∈M,B∈B}

在通常的矩阵运算下是一个代数,称为由A、M、B构造的三角代数.

注1设Z(U)为三角代数U的中心,由文献[12,命题3],知

Z(U)={[A00B]:AΜ=ΜB,Μ∈M}.(1)

以下引理中,设δ和I分别为三角代数U上的零点ξ-Lie(ξ≠1)可导映射和单位元.

引理1δ(I)∈Z(U).

以下分两种情况证明:

(ⅰ)当ξ=-1时,则对任意A、B∈U且AB+BA=0,都有δ(A)B+Aδ(B)+Bδ(A)+δ(B)A=0.设P∈U为任一幂等元,由P(I-P)+(I-P)P=0得

化简得

对(2)式左乘P得

Pδ(I)P+Pδ(I)=2Pδ(P)P.

对(2)式右乘P得

δ(I)P+Pδ(I)P=2Pδ(P)P.

由以上两式,从而δ(I)P=Pδ(I).

(ⅱ)当ξ≠-1时,设P∈U为幂等元.由[P,I-P]ξ=P(I-P)-ξ(I-P)P=0知,

[δ(P),I-P]ξ+[P,δ(I-P)]ξ=0.

化简得

ξδ(I)P-Pδ(I)=(1-ξ)δ(P)+(ξ-1)δ(P)P+(ξ-1)Pδ(P).(3)

又[I-P,P]ξ=0,故[δ(I-P),P]ξ+[I-P,δ(P)]ξ=0.整理得

比较(3)式和(4)式,得

(ξ+1)(δ(I)P-Pδ(I))=0.

由于ξ≠-1,则δ(I)P=Pδ(I).因此,当ξ≠1时,对任意幂等元P∈U有δ(I)P=Pδ(I).

引理2对任意幂等元P∈U,有δ(P)=δ(P)P+Pδ(P)-δ(I)P.

证明设P∈U.由(3)式和引理1,得

(ξ-1)δ(I)P=(1-ξ)δ(P)+(ξ-1)δ(P)P+(ξ-1)Pδ(P).

由于ξ≠1,则

δ(P)=δ(P)P+Pδ(P)-δ(I)P.

注2对任意T∈U,定义d(T)=δ(T)-δ(I)T.显然,d:U→U是一个可加映射且d(I)=0.从而对任意R、S∈U满足[R,S]ξ=0,有

[d(R),S]ξ+[R,d(S)]ξ=0.

由引理2,则d(P)=d(P)P+Pd(P).由于d是可加映射,故对任意A∈A,M∈M,B∈B,记

d[AΜ0B]=[ψ11(A)+φ11(Μ)+τ11(B)ψ12(A)+φ12(Μ)+τ12(B)0ψ22(A)+φ22(Μ)+τ22(B)],

其中ψij:A→Aij,φij:M→Aij,τij:B→Aij(1≤i≤j≤2)均是可加映射且A11=A,A12=M,A22