精品解析：江西省赣州市全南县全南中学2024届高三上学期期中数学试题（解析版）.docxVIP

全南中学2023-2024学年第一学期高中学段期中考试

三年级数学

一、单选题（每题5分，共40分）

1.满足条件?的所有集合的个数是（）

A.32 B.31 C.16 D.15

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知所给的集合关系将问题转化求集合真子集即可.

【详解】由集合满足条件?，

所以集合至少含元素1,2，将1,2看成一个整体用来表示，

则上述集合关系式变成：?，

则此时集合为集合的真子集，

问题转化为求集合的真子集的个数即：，

故满足题意的集合有31个.

故选：B.

2.已知为虚数单位，若复数模为该复数的实部的倍，则

A.0 B.-4 C.1或-1 D.1

【答案】A

【解析】

【分析】将复数分母实数化得到模和实部，建立方程可得解.

【详解】复数.

模为：.

根据题意得：，解得.

故选：A.

3.已知p：x2+x-20，q：xa，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求出二次不等式的解集，根据q是p的充分不必要条件，得到对应集合的包含关系，从而得到答案.

【详解】由得或，设,

若q是p的充分不必要条件，则?

所以a≥1．

故选：D．

4.设，且，则（）

A. B.10 C.20 D.100

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数式与对数的互化和对数的换底公式，求得，，进而结合对数的运算公式，即可求解.

【详解】由，可得，，

由换底公式得，，

所以，

又因为，可得．

故选：A.

5.已知点为的外心，的外接圆的半径为1，则与的夹角的正弦值为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】由已知可得：，两边同时平方利用数量积运算和已知条件，即可得出结果；

【详解】，，

，又，

，，

而，故.

故选：A

6.已知球O的半径为2，四棱锥的顶点均在球O的球面上，当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

A. B.2 C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，确定四棱锥体积最大时为正四棱锥，设出底面外接圆半径，求出体积函数式，再利用导数求解作答.

【详解】令球O的内接四棱锥为，四边形外接圆半径为，对角线的夹角为，

则四边形的面积，

当且仅当，即四边形为正方形时取等号，

由球的结构特征知，顶点P为直线与球面O的交点，并且球心O在线段上，四棱锥的高最大，如图，

，高，

因此四棱锥的最大体积关系式为：，令，

则，

求导得，当时，，当时，，

因此函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，此时，

所以当该四棱锥的体积最大时，其高为.

故选：D

7.托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】由已知和托勒密定理可得，即.再由三角形的面积公式可求得选项.

【详解】设，由托勒密定理知，，

所以.

又因为，，

所以四边形的面积为.

故选：B.

【点睛】本题考查数学文化，数学定理的应用，以及解三角形，属于中档题.

8.已知函数，其中，若函数恰有两个零点，则实数a的取值范围为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题设恰有两个零点转化为与的图象恰有两个不同的交点，利用导数研究的单调性，且必过，画出，的大致图象，进而利用导数的几何意义求，的相切时的切线方程并确定此时的斜率，结合函数图象分析要使，有两个不同交点，斜率a的变化范围即可.

【详解】由恰有两个零点，即恰有两个根，也就是恰有两个根，进而有函数与的图象恰有两个不同的交点，

由，得，

∴当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；

由知：必过；

函数，的大致图象，如下图示：

设与相切于，切线斜率为，则切线方程为，

把代入可得：，

∴化简得，解得或.

当时，切线斜率大于2，又，

∴，此时切点坐标为，

∴的斜率为1，即时与相切.

由函数增长速率，易知：当x无限趋近于时，无限趋近于0且x小于0.

∴若函数恰有两个零点，则实数a的取值范围为.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：由函数有两个零点转化为两个函数有两个不同交点问题，进而应用导数研究函数性质并画出草图，根据导数的几何意义，求直线与曲线相切时切线斜率，结合图象判断有两不同交点情况下直线的斜率变化范围.

二、多选题（每题5分，共20分）

9.函数的部分图象如图所示，则（）

A.

B.图象的一条对称轴方程是

C.图象的对称中心是，

D.函数是偶函数

【答案】BD

【解