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Problemset2
DueNovember,09
1.(Quasi-linearpreferences.)Supposeu:R3!Risde?nedbyu(x)=x1+2lnx2+
+
lnx,whereandarestrictlypositiveconstants.
3323
(a)WritedowntheKuhn-TuckerconditionsoftheUMP.
(b)Arguethatpx=w;andthatx20andx30areslackatthesolution.
(c)Findconditionsunderwhichx(p;w)=0andthensolveforx(p;w):
1
(d)Underconditionssuchthatx(p;w)0;solveforx(p;w).
1
(e)Showthatwhenx1(p;w)0;thevalueoftheproblemcanbewrittenintheform
v(p;w)=w=p1+(p):
Solution:
(a)TheUMPis
maxu(x);s.t.pxw;x0:
x2R3
Therefore,theLagrangeanis
3
P
L(x;;())=x+lnx+lnx+(wpx)+x:
k12233kk
k=1
TheKuhn-Tuckerconditionsare
(1)@L=1p1+1=0;
@x1
(2)@L=2=x2p2+2=0;
@x2
(3)@L=3=x3p3+=0;
@x33
(4)(wpx)=0;0;wpx0;
(5)8k=1;2;3:kxk=0;k0;xk0
(b)Ifx2=0;then(2)willneverhold.Theref
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