第21讲 零点问题之一个零点（原卷版）.docxVIP

第21讲零点问题之一个零点

.已知a0,函数/(%)=2分一3(+1)Y+6依一2.

(1)讨论/(九)的单调性；

(2)若/(%)在A上仅有一个零点，求。的取值范围.

.已知函数/(x)=(3加-.

(1)若x=0是函数/(x)的一个极值点，试讨论/z(x)=b历r+/(x)(/z￡的单调性;

(2)若/(%)在A上有且仅有一个零点，求用的取值范围.

.已知函数f(x)=(x-l)ex-ax2+h.

(I)讨论/(x)的单调性；

(H)从下面两个条件中选一个，证明：/(%)恰有一个零点.

/

②一〈髭，—，b2a；

2

②0ciLb”2a.

2

.已知函数/(工)=,工2一心+(1_〃+1)6一”,其中.

(I)讨论了(幻的单调性；

(II)若ae(O,l),设g(x)=/(x)-/(O),

(i)证明：函数g(x)在区间(0,+oo)内有唯一的一个零点；

(ii)记(i)中的零点为与,证明：当工￡(0,/)时，/＜上+1.

1一。

.若函数)=/。)在l=玉)处取得极大值或极小值，则称与为函数y=/(x)的极值点.已知函数/(x)=ax3+3xlnx-l(czeR).

(1)当4=0时，求/(X)的极值；

(2)若/(x)在区间已，e)上有且只有一个极值点，求实数。的取值范围.

e

.已知函数/(x)=,丁-^(x2+x+l).

(1)若4=3,求“X)的单调区间；

(2)证明：/(X)只有一个零点.

.已知函数/(x)=4x-lnx.

(I)若/(X)在X=X],%2(5。工2)处导数相等，证明：=2(嘉+?~)；

(II)在(I)的条件下，证明：/(Xj)4-f(x2)＞8-8/h2；

(III)若%3-4加2,证明：对于任意攵＞0,直线y=+。与曲线y=/(x)有唯一公共点.

.已矢口函数/(X)=—2%/加+工2一2以+/,其中Q〉0.

(I)设g(%)是/(x)的导函数，讨论g(x)的单调性.

(II)证明:存在Q￡(O,1),使得在X￡(0,一)上恒成立，且/(%)=0在区间(1,+00)内有唯一解.

.已知函数/(x)=eT+Y+。，函数g(x)=Y+奴+/心，aeR.

(I)讨论函数y=g(x)的单调性；

(II)若函数/(x)与函数g(x)的图象有仅有一个公共点P(x()，%)，证明：玉)2.

.已知函数/(x)是偶函数，且用,0时，/(%)=——--(其中e为自然对数的底数).ex+12

(I)比较f(2)与/(—3)大小；

(II)设g(x)=2(l-3々)，+2〃+*(其中x0,asR)，若函数/(x)的图象与函数g(x)的图象有且

仅有一个公共点，求实数。的取值范围.

.已知函数/(x)=(x-l)ex-ax2+b.

(1)证明：当X1时，/(x)(1-6Z)X2-(1-Z?);

(2)若0〃L,b,,2a,证明：/(x)有且仅有一个零点.

.已知函数/(x)=xsinx+cosx+一公2,工￡[-石刈.

(1)求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程;

(2)当a=O时，求/(X)的单调区间；

(3)当a0时，/⑴在区间[工，汨有一个零点，求。的取值范围.

.已知函数/(x)=xex-ax2-2ax.

(1)当a=l时,求，(x)的单调区间；

(2)若/(%)有且仅有一个零点，求。的取值范围.