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全南中学2023-2024学年第一学期高中学段期中考试
三年级数学
一、单选题(每题5分,共40分)
1.满足条件?的所有集合的个数是()
A.32 B.31 C.16 D.15
2.已知为虚数单位,若复数的模为该复数的实部的倍,则
A.0 B.-4 C.1或-1 D.1
3.已知p:x2+x-20,q:xa,若q是p充分不必要条件,则a的取值范围是()
A. B.
C. D.
4.设,且,则()
A. B.10 C.20 D.100
5.已知点为的外心,的外接圆的半径为1,则与的夹角的正弦值为()
A. B. C. D.
6.已知球O的半径为2,四棱锥的顶点均在球O的球面上,当该四棱锥的体积最大时,其高为()
A. B.2 C. D.
7.托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家,托勒密定理就是由其名字命名,该定理指出:圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上,是其两条对角线,,且为正三角形,则四边形的面积为()
A. B. C. D.
8.已知函数,其中,若函数恰有两个零点,则实数a的取值范围为()
A. B. C. D.
二、多选题(每题5分,共20分)
9.函数的部分图象如图所示,则()
A.
B.图象一条对称轴方程是
C.图象的对称中心是,
D.函数是偶函数
10.已知,为定义在上函数,且对任意的x,y满足:,且,则下面说法正确的是()
A.
B.
C.为奇函数
D.若,则3是的一个周期
11.已知矩形,,将沿对角线进行翻折,得到三棱锥,则在翻折的过程中有下列结论:()
A.四棱锥的体积最大值为 B.四棱锥的外接球体积不变
C.异面直线与所成角的最大值为 D.与平面所成角的最大值为
12.对于给定的数列,如果存在实数,使得对任意成立,我们称数列是“线性数列”,数列满足,则()
A.等差数列是“线性数列” B.等比数列是“线性数列”
C.若是等差数列,则是“线性数列” D.若是等比数列,则是“线性数列”
三、填空题(共20分)
13.已知等差数列满足,,则的前项的和为__________
14.已知倾斜角为的直线的斜率等于双曲线的离心率,则_________.
15.四个棱长为1的正方体拼成如图所示长方体,为上表面异于B的8个点,结果有____________个不同的值.
16.已知不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是______.
四、解答题(共70分)
17.在中,是,B,所对应的分边别为,,,且满足.
(1)求;
(2)若,的面积为,求的周长.
18.设数列的前项和为,已知,.
(1)求数列的通项公式;
(2)记,,证明:,
19.如图,在四棱锥中,底面为正方形,侧面为等边三角形且垂直于底面,分别为的中点.
(1)证明:平面;
(2)求二面角的正弦值.
20.为积极发展生态低碳农业,某农业大学实验基地进行绿色农业种植实验,已知该基地引进了营养价值较高A品种黄豆,统计了近几年的产量及市场售价情况(市场售价与产量相互独立),得到了如图①②所示的频率分布直方图(每组数据用该组区间的中点值为代表):
(1)若不考虑其他因素,设A品种黄豆明年的收入为元,求的分布列;;
(2)已知A品种黄豆人工种植及管理费用和其他黄豆相当,不考虑其他因素,若明年A品种黄豆的收入不低于520元,则后年可大面积推广种植A品种黄豆.请根据统计学知识预测后年能否大面积推广种植A品种黄豆,并说明理由.
21.已知点和直线,动点到点的距离与到直线的距离之比为.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)过点的直线交于两点,若点的坐标为,直线与轴的交点分别是,证明:线段的中点为定点.
22.已知函数.
(1)试判断函数的单调性;
(2)当时,若关于的不等式恒成立,求的取值范围.
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