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二阶算子矩阵代数中的全可导点

1强算子拓扑的全可导点

h是一个复合空间。b（h）表示h上的有边界算子的总量，f（h）表示h上的有限差分算子的总量，i表示h上的单位算子，c表示复合区域，h中的替换算子algn={tb（h）：m，mn}，v表示h上的逆算子，并记录。

设A是B(H)上的一个算子代数,Z∈A,?:A→A是线性映射.如果对于任意的S,T∈A且ST=Z,有?(ST)=?(S)T+S?(T)成立,则称?在Z点可导.若对于任意的S,T∈A,均有?(ST)=?(S)T+S?(T)成立,则称?是个导子.如果每一个在Z点可导且在强算子拓扑下连续的线性映射?是个导子,则称算子Z是A的关于强算子拓扑的全可导点.

近些年来,算子代数中导子的特征的刻画是算子代数领域中的活跃分支,出现了不少研究成果.现给出几个相关的研究结果:单位算子是套代数中关于强算子拓扑的全可导点;E11是二阶算子矩阵代数的关于强算子拓扑的全可导点;每一个可逆算子是套代数的关于强算子拓扑的全可导点.本文对2×2算子矩阵代数的全可导点进行进一步的探讨,得出并证明了结论E也是二阶算子矩阵代数的关于强算子拓扑的全可导点.

2可逆算子和有限秩一算子

引理2.1套代数上每一个在0点处可导的线性映射?(?(I)=0)是个内导子.

引理2.2每一个可逆算子是套代数的关于强算子拓扑的全可导点.

引理2.3套代数上每一个秩一算子可表示为至多四个幂等算子的线性组合.

引理2.4套代数上每一个有限秩算子可表示为有限个秩一算子之和.

3各算子abiabiabibabibabib3

定理3.1设N是复可分Hilbert空间H上的完备套,若

则E是A的关于强算子拓扑的全可导点.

证证明设?:A→A是一个在E点处可导且关于强算子拓扑连续的线性映射,下面只需证明?是个导子.对于任意的W,X,Y,Z∈algN,令

显然,Aij,Bij,Cij,Dij(i,j=1,2)是algN上的关于强算子拓扑连续的线性映射.

取S=E22,T=E,则ST=E,因?在E点处可导,所以有

从而有

因V为可逆算子,在(1)式中,可取V=I,从而得

同理,若取,则ST=E,进而有

D11(V)=0,D12(V)=D12(I)V,D22(I)V=0.(1)

D11(I)=0,D22(I)=0.(2)

从而有

A21(I)+D21(I)=0,A22(I)=0.(3)uf8f9

A12(I)+D12(I)=0,D21(V)=VD21(I).(4)

B21(I)=0,D21(I)+B22(I)=0.(5)

C12(I)=0,D12(I)+C22(I)=0.(6)

D12(V)=C11(I)V,D21(V)=B11(V),D22(V)=B12(V)+C21(I)V.(7)

在(7)式中,取V=I并结合(2)式可得:

D12(I)=C11(I),D21(I)=B11(I),B12(I)+C21(I)=0.(8)

D12(V)=C11(V),D21(V)=VB11(I),D22(V)=C21(V)+VB12(I).(9)

A11(I)=0.(10)

综合以上结果可知,Aij,Bij,Cij,Dij(i,j=1,2)在单位算子I点处有如下关系:

对于任意的X∈algN,取S=E22,,则ST=E,进而有

从而有

A21(X)+D21(I)X=0,A22(X)=0.(12)uf8eeuf8f9

B21(X)=0,B22(X)+D21(I)X=0.(13)

A12(X)+XD12(I)=0.(14)

C12(X)=0,C22(X)+XD12(I)=0.(15)

C11(X)+C22(I)X=0.(16)uf8f9

D11(X)=0,D12(X)+C22(I)X=0.(17)

D21(X)+XB22(I)=0.(18)

B11(X)+XB22(I)=0.(19)

C21(X)-C21(I)X-A11(X)=0.(20)uf8f9uf8eeuf8f9

B12(X)-XB12(I)-A11(X)=0.(21)uf8eeuf8f9uf8eeuf8f9

对任意的X1,X2∈algN且X1X2=0,取,,则ST=E进而有

从而有A11(X1)X2+X1A11(X2)=0=A11(0)=A11(X1X2),故A11在0点处关于强算子拓扑连续可导,又A11(I)=0,由引理1知A11是个内导子,故存在一算子A∈B(H),使得:

A11(X)=XA-AX,X∈algN.(22)

对于任意的X1,X2∈algN且X1X2=V,取,,则ST=E,与以上同理,从而可有D22(X1)X2+X1D22(X2)=D22(V)=D22(X1X2),因V可逆,由引理2知D2