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贺兰重点中学2023-2024学年第一学期高二年级期中数学测试卷
姓名:___________班级:___________
一、单选题
1.准线方程为的抛物线的标准方程是(????)
A. B. C. D.
2.以点为圆心,且与直线相切的圆的方程为(????)
A. B.
C. D.
3.垂直平分两圆,的公共弦的直线方程为(????)
A. B. C. D.
4.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线方程为(????)
A. B.
C.或 D.或
5.已知椭圆C:的左焦点是,过的直线l:与圆:交于A,B两点,则的长为(????)
A. B. C.2 D.
6.已知双曲线C:的渐近线方程为,且C过点,则C的方程为(????)
A. B. C. D.
7.我国古代数学名著《九章算术》中,将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马,如图,四棱锥为阳马,平面ABCD,且,若,则(????)
??A.3 B. C. D.1
8.已知是椭圆的左右焦点,若上存在不同两点,,使得,则该椭圆的离心率的取值范围为(????)
A. B. C. D.
二、多选题
9.已知空间中三个向量,,,则下列说法正确的是
A.与是共线向量 B.与同向的单位向量是
C.在方向上的投影向量是 D.与的夹角为
10.已知抛物线的焦点在直线上,则抛物线的标准方程为( )
A. B. C. D.
11.已知直线:,:,则说法正确的是(????)
A.恒过点 B.若,则
C.若,则或 D.若不经过第三象限,则.
12.已知双曲线若圆与双曲线C的渐近线相切,则
A.双曲线C的实轴长为6
B.双曲线C的离心率
C.点P为双曲线C上任意一点,若点P到C的两条渐近线的距离分别为、,则
D.直线与交于、两点,点为弦的中点,若(为坐标原点)的斜率为,则
三、填空题
13.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则异面直线ON,AM所成的角是 .
14.代诗人李颀的诗《古从军行》:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角标系中,设军营所在的位置为,若将军从山脚下的点处出发,河岸线所在直线方程为,则“将军饮马”的最短总路程为 .
15.圆心在第一象限的圆,截轴所得弦长为2,截轴所得弦长为4,被轴分成两段圆弧,其弧长的比为,则圆的方程为 .
16.已知双曲线,O为坐标原点,,为其左、右焦点,若左支上存在一点P,使得的中点M满足,则双曲线的离心率e的取值范围是 .
三.解答题
17.已知抛物线的顶点为坐标原点,准线方程为.
(1)求的方程; (2)若直线:与交于,两点,求弦的长.
18.已知动点M与两定点,构成,且直线,的斜率之积为4,求动点M的轨迹方程.
19.已知圆过点,且圆心在直线上.
(1)求圆的方程;
(2)若从点发出的光线经过直线反射,反射光线恰好平分圆的圆周,求反射光线所在直线的方程.
20.如图,在四棱锥中,底面为矩形,分别是的中点.
??(1)求证:∥平面;
(2)再从条件①,条件②中选择一个作为已知,求平面与平面夹角的余弦值.
条件①:平面平面;
条件②:.注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.
21.如图,在四棱锥中,平面平面,四边形为矩形,为线段上的动点,.
(1)证明:;(2)若直线与平面所成角的大小为,确定点的位置.
22.已知焦点在x轴上的椭圆C的离心率为,且过点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)点M,N在C上,且,证明:直线MN过定点.
参考答案
1.D【详解】由抛物线的准线方程为,可知抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线,
设其方程为,则其准线方程为,得.
该抛物线的标准方程是.故选:D.
2.D【详解】因直线与圆相切,所以圆的半径等于点到直线的距离,
即,则所求圆的方程为.故选:D.
3.B【详解】根据题意,圆,其圆心为,则,
圆,其圆心为,则,
垂直平分两圆的公共弦的直线为两圆的连心线,则直线的方程为,变形可得;故选:B.
4.D【详解】解法一??当直线过原点时,满足题意,此时直线方程为,即;
当直线不过原点时,设直线方程为,因为直线过点,所以,
解得,此时直线方程为.故选:
解法二??易知直线斜率不存在或直线斜率为0时不符合题意.
设直线方程为,则时,,时,,
由题意知,解得或,即直线方程为或.
5.A【详解】由题意可
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