知识点总结高等代数.docx

第 二 章 行 列 式 知 识 点 总 结 一行列式定义 1、n 级行列式 a ij n a a 11 12 a a ? 21 22 a 1n a 2n （1）等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 a a 1 j 2 j 1 2 a a a n1 n2 nn a （2）的代数和，这里 j j nj 1 2 n  j 是一个 n 级排列。当 j j n 1 2  j 是偶排列时，该项前面带 n 正号；当 j j 1 2 j 是奇排列时，该项前面带负号，即： n 2、等价定义  a ij n a a 11 12 a a ? 21 22 a a n1 n 2 a 1n ??a ? ? 2n j j j 1 2 n a nn  (?1)?( j j  anj。j a nj 。 j ) a n 1 2 1 j 2 j 1 2 n a ij n ? ? (?1)?(i i i ) anii i ) a n i i 和j j j 1 2 1 2  i11  a i2 2 a 和 a ? ni n ij n n i i ? (?1)? (i i  i )?? i )?? ( j j j ) a n 1 2 n a  ai ji2 j2 n a i j 1 2 n 1 2 n 1 2 n 3、由 n 级排列的性质可知，n 级行列式共有 n!项，其中冠以正号的项和冠以负号的项（不算元素本身所带的负号）各占一半。 4、常见的行列式 上三角、下三角、对角行列式 副对角方向的行列式 范德蒙行列式： 二、行列式性质 1、行列式与它的转置行列式相等。 2、互换行列式的两行（列），行列式变号。 3、行列式中某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数，等于用这个数乘以此行列式。即：某一行（列） 中所有的元素的公因子可以提到整个行列式的外面。 4、若行列式中有两行成比例，则此行列式等于零。 5、若某一行（列）是两组数之和，则这个行列式等于两个行列式之和，而这两个行列式除这一行（列） 以外全与原来行列式的对应的行（列）一样。 6、把行列式某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上，行列式不变。 三、行列式的按行（列）展开 1、子式 余子式：在n 级行列式 D ? a ij 为 a 的余子式，记作 M 。 ij ij 中，去掉元素 a ij 所在的第 i 行和第 j 列后，余下的n-1 级行列式称 代数余子式： A ij ? (?1)i? j M ij 称为 a ij 的代数余子式。 3）k 级子式：在 n 级行列式 D ? a ij 中，任意选定 k 行和 k 列(1? k ? n) ，位于这些行列交叉处的 k 2 个元素，按原来顺序构成一个k 级行列式 M，称为D 的一个 k 级子式。当(k ? n) 时，在D 中划去这 k 行和 k 列后余下的元素按照原来的次序组成的 n ? k 级行列式 M ? 称为 k 级子式 M 的余子式。 2、按一行（列）展开 行列式任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值，即 按第 i 行展开 D ? a A i1 i1 按第 j 列展开 D ? a A a A ? ? a A (i ? ? a A (i ? 1,2, , n); in in ? a A ? a A ( j ? 1,2, , n); nj nj 1 j 1 j 2 j 2 j 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等零，即 a A i1 j1 a A ? a Ain jni 2 j a A in jn ? 0(i ? j); 或 a A 1i 1 j a A ? a Ani nj2i 2 a A ni nj ? 0,( i ? j). 3、按 k 行（ k 列）展开 拉普拉斯定理：在 n 级行列式中，任意取定 k 个行（ k 列） (1? k ? n ?1)，由这 k 行（ k 列）元素组成的所有的 k 级子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式的值。 4、其他性质 设 A 为 n 阶方阵，则 A? ? A ； 设 A 为 n 阶方阵，则 kA ? kn A ； 设 A, B 为 n 阶方阵，则 AB ? A B ， 但 A ? B ? A ? B ； A ? 设 A 为 m 阶方阵，设 B 为 n 阶方阵，则 0 B ? A 0 B ? A B ， 但 A ? B ? A ? B 。 行列式的乘法定理：两个 n 级行列式乘积等于 n 级行列式 四、行列式的计算 1、计算行列式常用方法： 定义法、化三角形法、递推法、数学归纳法、拉普拉斯定理等等。具体计算时需要根据等到式中行（或列）元