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成都市重点学校2023-2024学年上学期一阶考试
高二年级数学学科试题
考试时间120分钟 满分150分
一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1. 向量,若,则( )
A. B.
C. D.
2. 椭圆的焦距为( )
A. 6 B. 3 C. 2 D. 1
3. 设是两条不同的直线,是两个不同的平面. 则下列说法错误的是( )
A. 若,则
B. 若,则
C. 若,则
D. 若,则
4. 一组数据按从小到大排列为,若该组数据的第60百分位数是众数的倍,则这组数据的平均数是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
5. 将2个不同的小球随机放入甲、乙、丙3个盒子,则2个小球在同一个盒子的概率为( )
A. B. C. D.
6. 过三点的圆的一般方程为( )
A. B.
C. D.
7. 如图,空间四边形中,,点在上,且,点为中点,则( )
A. B.
C. D.
8. 点在以为焦点的椭圆上,若线段的中点在轴上,则是的( )
A. 3倍 B. 4倍 C. 5倍 D. 7倍
二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符号题目要求,全部选对得5分,部分选对得2分,有选错得0分)
9. 若与为两条不重合的直线,它们的倾斜角分别是,,下列命题是真命题的为( )
A. 若,则两条直线的斜率相等
B. 若两条直线的斜率相等,则
C. 若,则
D. 若,则
10.某保险公司为客户定制了5个险种:甲,一年期短险;乙,两全保险;丙,理财类保险;丁,定期寿险;戊,重大疾病保险,各种保险按相关约定进行参保与理赔. 该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查,得出如下的统计图例:
用该样本估计总体,以下四个选项正确的是( )
A. 54周岁以上参保人数影少 B. 18~29周岁人群参保总费用最少
C. 丁险种更受参保人青睐 D. 30周岁以上的人群约占参保人群20%
11. 如图,两个共底面的正四棱锥组成一个八面体,且该八面体的各棱长均相等,则( )
A. 异面直线与所成的角为
B.
C. 平面平面
D. 直线与平面所成的角为
12. 在平面直角坐标系中,圆,点为直线上的动点,则( )
A. 圆上有且仅有两个点到直线的距离为
B. 已知点,圆上的动点,则的最小值为
C. 过点作圆的一条切线,切点为,可以为
D. 过点作圆的两条切线,切点为,则直线恒过定点
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13. 某高中共有学生2000人,其中高一和高二各有800人,现采用分层抽样的方法抽取容量为25的样本,那么高二抽取的人数为__________.
14. 若直线的一个方向向量是,则实数的值为__________.
15. 已知三棱锥中,平面,则三棱锥的外接球的表面积为__________.
16. 已知为椭圆的左、右焦点,点为该椭圆上一点,且满足,若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍,则该椭圆的离心离为__________.
四、解答题(本大题共6题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明或演算过程)
17. 已知直线的方程为.
(1)若直线的倾斜角为,求的值;
(2)已知直线在轴,轴上的截距分别为,若,求直线的方程.
18. 中国人民志愿军被称为“最可爱的人”,2023年7月27日是抗美援朝胜利70周年,为了解抗美援朝英雄事迹、某党支部组织了抗美援朝知识竞赛活动、现抽取其中50名党员的成绩,按进行分组,得到如下的频率分布直方图.
(1)求图中的值及估计这50名党员的成绩的平均数;
(2)若采用分层随机抽样的方法,从成绩在和内的党员中共抽取4人,再从这4人中任选2人在会上进行演讲,求这2人的成绩不在同一区间的概率.
19. 已知,,动圆与圆外切且与圆内切. 圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线C的方程;
(2)是否存在过点的直线交曲线C于A、B两点,使得点Q为中点时,直线的斜率与直线OQ的斜率乘积为定值?如果存在,求出这个定值,如果不存在,说明理由。
20. 已知在多面体中,且平面平面.
(1)设点F为线段BC的中点,试证明平面;
(2)若直线与平面所成的角为,求二面角的余弦值.
21. 已知为坐标原点,直线,设圆的半径为1,圆心在直线上.
(1)若圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线方程;
(2)若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围.
22. 已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别为,过且垂直于轴的
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