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重难点突破03 数列与函数综合
一.选择题(共20小题)
1.(2022?齐齐哈尔二模)已知数列的通项公式是数列的最小项,则实数的取值范围是
A., B., C., D.,
【解答】解:根据题意,设,
其导数,,
当时,有,则函数为增函数,
对于数列,其通项公式,若是数列的最小项,
则函数的零点在区间上,则有,解可得,
同时有,即,解可得,
又由,则有,
当时,,
当时,,即当时,有,
若是数列的最小项,
必有,,,,
解可得,
综合可得:的取值范围为,;
故选:.
2.(2022?宣城模拟)已知数列为等差数列,若,为函数的两个零点,则
A. B.9 C.14 D.20
【解答】解:等差数列中,,为函数的两个零点,
,,所以,,或,,
当,时,,,,
所以.
当,时,,,,
.
故选:.
3.(2021?甘肃模拟)数列的前项和为,若点在函数的图象上,则
A.2021 B.4041 C.4042 D.4043
【解答】解:将点代入函数得,
,
又由首项为,公差为的等差数列的前项和公式为:,
,解之可得,,
所以数列的通项公式即为:,
.
故选:.
4.(2021?贺兰县二模)已知函数是定义在上的奇函数,且满足,数列是首项为1、公差为1的等差数列,则的值为
A. B.0 C.1 D.2
【解答】解:函数是定义在上的奇函数,
,且,
又,
,故周期为2.
令,可得(1),
(1).
(1)(2)(3).
数列是首项为1、公差为1的等差数列,
,
则,
故选:.
5.(2021?秦州区校级三模)已知等比数列的各项均为正数,公比,设,,则与的大小关系是
A. B. C. D.
【解答】解:等比数列的各项均为正数,公比,
,
.
.
故选:.
6.(2020?咸阳三模)若数列为等差数列,为等比数列,且满足:,,函数满足且,,,则
A. B. C. D.
【解答】解:数列为等差数列,为等比数列,且满足:,,
所以(9),
函数满足且,,,
(9)(7)(5)(3)(1).
故选:.
7.(2023?西城区校级模拟)给定函数f(x),若数列{xn}满足,则称数列{xn}为函数f(x)的牛顿数列.已知{xn}为f(x)=x2﹣x﹣2的牛顿数列,,且a1=1,xn>2(n∈N+),数列{an}的前n项和为Sn.则S2023=( )
A.22023﹣1 B.22024﹣1
C. D.
【解答】解:由f题意得(x)=2x﹣1,
则,,
则两边取对数可得.
即an+1=2an,
所以数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列.
所以.
故选:A.
8.(2023?江西模拟)已知函数对任意自变量都有,且函数在,上单调.若数列是公差不为0的等差数列,且,则的前2023项之和是
A.8092 B.4046 C.2023 D.0
【解答】解:函数对任意自变量都有,
函数的图象关于直线对称,
函数在,上单调,数列是公差不为0的等差数列,且,
,
,
则的前2023项之和为.
故选:.
9.(2021?云南模拟)已知定义域为正整数集的函数满足,(1),则数列的前99项和为
A. B. C. D.
【解答】解:令,,可得(1),
则(1),
则数列的首项为1,公差为2的等差数列,
从而,
则,
则的前99项和为
,
,
,
,
,
故选:.
10.(2021?全国Ⅱ卷模拟)九连环是一个古老的智力游戏,在多部中国古典数学典籍里都有对其解法的探究,在《九章算术》中古人对其解法的研究记载如下:记解连环需要的步骤为,,研究发现是等比数列,已知(1),(2),(3),则
A.127 B.128 C.255 D.256
【解答】解:因为,(1),(2),(3),
所以(2)(1),
(3)(2),
则,
所以数列是首项为4,公比为2的等比数列,
则,
所以,
则.
故选:.
11.(2023?乌鲁木齐模拟)已知函数的定义域为,且满足(1),对任意实数,都有,若,则中的最大项为
A. B. C.和 D.和
【解答】解:根据题意可得,
可得,
令,,而(1),
可得,
,
数列是以首项为,公差的等差数列,
,
,
,
当时,;当时,;当时,,
中最大项为和,
故选:.
12.(2023?湖北二模)已知定义在上的函数是奇函数,且满足,,数列满足且,则
A. B. C.2 D.3
【解答】解:函数是奇函数,且满足,,
,
即,则,
即函数是周期为6的周期函数,
由数列满足且,
则,
即,
则,
则,.,
等式两边同时相乘得.,
即,即,
即数列的通项公式为,
则(1),
是奇函数,,
,(1),
即(1),
则(1).
故选:.
13.(2023?润州区校级二模)已知函数,记等差数列的前项和为,若,,则
A.
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