拓扑学教学大纲-复旦大学　.doc

拓扑学教学大纲 - 复旦大学　 拓扑学教学大纲 (Topology) 课程代码 318.006.1 编写时间 课程名称 拓扑学 英文名称 Topology 学分数 3 周学时 3+1 任课教师 开课院系数学学院 傅吉祥 预修课程 课程性质: 本课程是数学系数学与应用数学专业(相对于复旦大学)的必修课 基本要求和教学目的: 通过本课程的学习，学生应掌握点集拓扑与基本群的一些基本概念与应用拓扑学解决实际问题的能力。以便为以后进一步学习、研究现代数学打好基础;另一方面培养学生理论联系实际和分析问题解决问题的能力 课程基本内容简介: 本课程主要讲授点集拓扑与基本群的基本理论。主要内容有: 点集拓扑，内容包括:拓扑空间，连续映射，可数性与分离性，紧性，连通性以及点集拓扑的进一步概念，如度量化空间，仿紧空间等。 基本群与覆盖空间，内容包括:同伦，基本群，基本群的计算，覆盖空间的基本概念及其基本性质，映射提升定理，覆盖空间的分类定理与万有覆盖定理。 教学方式: 课堂授课+习题课 教材和教学参考资料 作 者 教材名称 出版社出版年月 教材李元熹，张 拓扑学 上海科学技术1986 国梁 出版社 参考 M. A. 基础拓扑学 资料Armstrong 教学内容安排: 第0章 集合与映射 (1学时) 教学要求:复习集合论中的一些基本概念。 第一章 点集拓扑(25学时) ?1 拓扑空间(5学时) 1(1 拓扑 开集 闭集 1(2 领域 闭包 内部 边界 1(3 子空间 1(4 基 子基 局部基 教学要求:理解与掌握拓扑、开集与闭集、领域、闭包、内部、边界、子空间、基、子基与局部基这些概念以及它们所具有的性质;理解这些概念在度量空间的相应形式;能体会开集与闭集这对概念的对偶性;能了解一些拓扑空间。 ?2 连续映射(6学时) 2(1 连续映射 2(2 同胚 拓扑性质 2(3 积空间 2(4 商空间 2(5 收敛性* 教学要求:理解与掌握连续映射的定义与多种等价的定义;理解与掌握连续映射的性质;理解同胚与拓扑不变性;了解不动点性质是拓扑不变性;理解积空间与商空间的概念;学会由积空间与商空间特别是商空间构造新的拓扑空间的方法;理解与掌握拓扑空间中极限的概念以及用“网”代替序列来定义极限的必要性。 ?3 可数性 分离性(3学时) 3(1 可数性 3(2 分离性 3(3 Urysohn引理和Tietze扩张定理 CCCC教学要求:理解与掌握公理和公理以及满足公理与公理的1212拓扑空间所具有的拓扑性质;理解与掌握各种分离公理以及各种分离公理所具有的性质;体会Hausdorff拓扑空间的极限的唯一性;理解与掌握与掌握Urysohn引理和Tietze扩张定理。 ?4 紧性(5学时) 4(1 紧空间 4(2 可数紧空间 序列紧空间 聚点紧空间* 4(3 局部紧性 单点紧化 教学要求:理解与掌握紧空间与紧子集的定义与性质，特别是理解与掌握紧子集与闭子集的关系;学会用紧性分析问题;理解与掌握紧度量空间的连续映射的性质;理解与紧性有关的可数紧空间、序列紧空间、聚点紧空间的定义以及它们之间的相互关系;理解局部紧空间的定义与性质; 理解单点紧化的定义与性质，重点理解欧氏空间的单点紧化空间是球面。 ?5 连通性(3学时) 5(1 连通空间和局部连通空间 5(2 道路连通空间和局部道路连通空间 教学要求:理解与掌握连通空间与局部连通空间的定义与性质;体会连通性在偏微分方程中的应用;理解道路连通空间与局部道路连通空间的定义与性质。 ?6 电集拓扑的进一步概念(3学时) 6(1 度量化空间 6(2 单位分解 6(3 流形 6(4 仿紧空间 6(5 函数空间 教学要求:理解可度量化空间、流形与仿紧空间的概念;理解与掌握单位分解的定义与技巧，为以后进一步学习微分几何与另外的现代数学打下基础。 第二章 基本群和覆盖空间 (24学时) ?1 同伦 (4学时) 1(1 映射的同伦 1(2 同伦等价 教学要求:理解同伦、同伦等价与相对同伦，收缩核、形变收缩核与强形变收缩核的概念;能构造简单映射的同伦。 ?2 基本群 (5学时) 2(1 道路类及其乘法 2(2 基本群及其性质 教学要求:理解定端同伦与道路类的概念;理解道路类乘法的定义与性质;理解与掌握基本群的定义与性质;理解与掌握由连续映射所诱导的基本群之间的同态的定义与性质。 ?3 基本群的计算 (6学时) 3(1 圆周的基本群 3(2 计算基本群的方法 3(3 Van Kampen定理 教学要求:;掌握计算基本群的一些方法:如利用基本群的同伦不变性， 利用乘积空间基本群的直积表示，利用Van Kampen定理;