重积分的应用.docx

对重积分应用的一些想法 王烁正阳，P在第二学期微积分的学习中，一个很重要的变化就是“多元化”，无论是函数的微分， 积分以及场论乃至后面的级数，无不体现了多元这一特点，正所谓从 1 到 2 是质变，从 2 到 3 只是量变。而在学习的这些有关多变量的知识之中，重积分，尤其是它的应用给我留下了很深刻的印象。本文将重点结合一些实例，对重积分应用中曲面的面积做一些补充，着重总结一下重积分在物理学中的应用，最后简单引申一点重积分在生活实际中的应用。目的在于帮助读者尤其是各位同学，加深对重积分的了解，回顾一下所学过的知识，并能在这之中得到一些启发。 在我们的学习中，重积分的一个很重要的应用就是曲面面积。在上学期的学习中，我 们已经知道了普通积分代表的是平面面积，所以我们不难提出这样的问题：非平面的面积如 何计算？也就使人们想要把定积分的元素法推广到二重积分的应用中，并用此方法来解决曲 面面积的问题，既若要计算的某个量 U 对于闭区域 D 具有可加性(即当闭区域 D 分成许多小闭区域时，所求量 U 相应地分成许多部分量，且 U 等于部分量之和)，并且在闭区域 D 内任取一个直径很小的闭区域 da 时，相应地部分量可近似地表示为 f(x,y)da 的形式,其中(x,y)在da,内这个 f(x,y)da 称为所求量 U 的元素，记为 du.，从而有了这之后用此来表示曲面面积元。对于多重积分表示曲面面积的推导，书上已经写的很详细，这里再提供另一种想法 设曲面 S 的方程为 z?f(x? y)? f(x? y)在区域 D 上具有连续偏导数? 设 dA 为曲面上点 M 处的面积元素?dA 在 xOy 平面上的投影为小闭区域 d?? 点 M 在 xOy 平面上的投影为点 P(x? y)? 因为点 M 处的法向量为 n?(?fx? ?fy? 1)? 所以 设曲面 S 的方程为 z?f(x? y)? f(x? y)在区域 D 上具有连续偏导数?设 dA 为曲面上点 M 处的面积元素?dA 在 xOy 平面上的投影为小闭区域 d??点 M 在 xOy 平面上的投影为点 P(x? y)? 因为点 M 处的法向量为 n?(?fx? ?fy? 1)? 所以 ddAA??||nn||dd?? ?? 11?? ff22((xx,,yy))??f f2(2x(,xy,)yd)?d ? ? xx y y 提示：因为 M 处的切平面与 xOy 面的夹角为(n?^k)? 所以 dA?cos(n?^k)?d?? 又因为 n?k?|n|cos(n?^k)?1? cos(n?^k)?|n|?1? 所以 dA?|n|d?? 同样，对于曲面面积的认识，我们也不应仅停留在课本中那些抽象的图形上，下面举一实例加以说明 z z 卫星 h o x 实例 一颗地球的同 步轨道通讯卫星的轨道位于地球的赤道平面内，且可近似认为是圆轨道．通讯卫星运行的角速率与地球自转的角速率相同， 即人们看到它在天空不动．若地球半径取 为 R ，问卫星距地面 的高度 h 应为多少？ 通讯卫星的覆盖面积是多大？ 下面我们来着重看一下重积分在物理中的应用 质量 M 平面薄片的质量 设该薄片在 xOy 面上占据平面闭区域 D，已知薄片在 D 内每一点 (x， y) 的面密度为? ??(x, y) ，且 ? ( x , y ) 在 D 上连续。在闭区域 D 上任取一直径很小的闭区域d? ，则薄片中对应于 d? ( d? 也表示其面积)部分的质量可近似地表示为 ?(x, y)d? ，这就是质量微元，以其为被积表达式，在区域 D 上二重积分，得 M M ? ?? D ?( x, y)d? 。 (4.6) 特别地，如果平面薄片为均匀的，即?为常数时，上式可简化为 M M ? ? ?? d? ? ?? D (? 为 D 的面积)。 (4.7) 类似地，有空间物体的质量如下 设该物体占有空间区域 V ，体密度函数为 ? (x, y, z) ，则质量微元为： dM ? ? (x, y, z)dv ，故 M ? ??? ? (x, y, z)dv 。 V 这部分内容在书上并没有专门说到，只是老师提过，这里略作总结，并举一例说明 例：一物体占有的空间区域 ? 由曲面 z ? x2 ? y2 ， x2 ? y2 ? 1， z ? 0 围成， 密度为? ? x2 ? y2 ，求此物体的质量。 解 M ? ??? (x2 ? y2 )dv ? ??? r3drd? dz ? ? 2? d? ?1 dr ? r2r3dz ? ? 。 ? ? 0 0 0 3 由于书上说的很简单，以下也把重心和转动惯量简单的说一下，以加深理解。 重心坐标 1设 xOy 面上有 n 个质点，分别位于 (x 1 , y1 ),(x