知识点立体几何知识点常见结论总结.docx

立体几何高考知识点和解题思想汇总 补充：三角形内心、外心、重心、垂心知识 四心的概念介绍： 重心——中线的交点：重心将中线长度分成 2： 1； 垂心一一高线的交点：高线与对应边垂直； 内心一一角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等; 外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 若 P 为 ABC 所在平面外一点,0 是点 P 在 ABC 内的射影，贝 ① 若 PA PB PC 或 PA、PB、PC 与所成角均相等,则 0 为 ABC 的外心； ② 若 P 到 ABC 的三边的距离相等,则 0ABC 的内心； ③ 若 PA、PB、PC 两两互相垂直,或 PA BC,PB AC 则 0 为 ABC 的垂心. 常见空间几何体定义： .棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互 相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱，这两个面为底面，其他面为侧面。 棱柱具有下列性质： 棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都平行且相等； 棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形。 直棱柱的侧棱长与高相等；直棱柱的侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。 棱柱的分类： 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱。 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。直棱柱的各个侧面都是矩形； 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。平行六面体：底面是平行四边形的棱柱。 直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体叫直平行六面体。长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体 .棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的 几何体叫做棱锥.（1）如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底 面，这样的棱锥称为正棱锥正棱锥具有性质： ①正棱锥的顶点和底面中心的连线即为高线; ② 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做这个正棱锥 的斜高. 底边长和侧棱长都相等的三棱锥叫做正四面体. 依次连结不共面的四点构成的四边形叫做空间四边形. 常见几何题表面积、体积公式 旋转体的表面积 圆柱的表面积 S = 2 r2 + 2 rl （其中 r 为底面半径，I 为母线长） 圆锥的表面积 S = r2 + rl （其中 r 为底面半径，I 为母线长） ⑷ 球的表面积公式 S = 4 R2 （其中 R 为球半径）. 几何体的体积公式 柱体的体积公式 V= Sh（其中 S 为底面面积，h 为高）. 1 锥体的体积公式 V= §Sh（其中 S 为底面面积，h 为高）. 4 球的体积公式 V= §n R3 （其中 R 为球半径） 三棱锥外接球问题: 、正四面体：如图 1,正四面体 ABCD 勺边长为 a,高为 h ,其外接球与内切球球心重 律，比例为 I 例 1年高常曲东卷 I 例 1 年高常曲 东卷-理 12）在等腰梯形 A BCD 中讨 Iff = 2CD = 2, 二 60?卫 ￡ 为.妬的中 为.妬的中 A 点，毎忑与 AEEf 摄别 沿 ED.EC白上祈起，捷 宣 合于点 則二核推 P - ME 的外接球的体枳为（ g 噜 （仍警 、出现“墙角” 结构利用补形知识，联系长方体。 答案：C 【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为 a, b,c .a2 b2 c2，几何体的外接球直径 .a2 b2 c2 ，几何体的外接球直径 2R c2 为体对角线长丨即 R 解： 因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长，所以：四面体外接球的直径为  AE 的长 2即：4R2 AB2 AC2 AD2 ， 4R2 12 32 .6 16 所以 R 2，球的表面积为 2 S 4 R2 16 二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。 【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点 【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球 0 的球面上，AB BC 且 PA 7 , PB 5 , PC .. 51， AC 10,求球 0 的体积。 解：AB BC 且 PA 7，PB 5，PC .51，AC 10, 在 Rt ABC 中斜边为 AC在 Rt PAC 中斜边为 AC 取斜边的中点 在 Rt ABC 中斜边为 AC 在 Rt PAC 中斜边为 AC 取斜边的中点 O, 在 Rt ABC 中 OA OB OC 在 Rt PAC 中 OP OB OC , 2 102 所以知 AC2 PA2 PC2 所以可得图形为: 1 所以在几何体中 OP OB R AC 5 2 所以该外接球的体积为 V  OC OA，即 O 为该四面体的外接球的球心 三、戏垂四面体的外接球半径间题