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2023—2024学年佛山市重点中学高一上学期第二次月测
数学试卷
一、单项选择题
1.已知集合,,若,则实数的值为( )
A.1 B.2 C.1或2 D.4
2.当时,在同一坐标系中,函数与的图象可以是( )
A. B.
C. D.
3.下列函数中,既是奇函数又是区间上的增函数的是( )
A. B. C. D.
4.函数的零点所在的大致区间是( )
A. B. C. D.
5.已知函数是幂函数,且在上是减函数,则实数的值是( ).
A.或2 B.2 C. D.1
6.设,,,则( )
A. B. C. D.
7.若偶函数在上单调递减,在单调递增,且,,则函数的零点个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.某化工厂生产一种溶质,按市场要求,杂质含量不能超过0.01%.若该溶质的半成品含杂质1%,且每过滤一次杂质含量减少为原来的,则要使产品达到市场要求,该溶质的半成品至少应过滤( )
A.5次 B.6次 C.7次 D.8次
二、多项选择题
9.集合中的元素有( )
A. B. C. D.
10.若,是任意正实数,且,则下列不等式成立的有( )
A. B. C. D.
11.已知函数是上的奇函数,且当时,,则( )
A. B.是减函数
C.只有一个零点 D.
12.如图,某池塘里的浮萍面积(单位:)与时间(单位:月)的关系式为(),且;且).则下列说法正确的是( )
A.浮萍每月增加的面积都相等
B.第6个月时,浮萍的面积会超过
C.浮萍每月的增长率为1
D.若浮萍面积蔓延到,,所经过的时间分别为,,,则
三、填空题
13.函数的零点个数是______.
14.函数与函数互为反函数,且图像经过点,则______.
15.若函数在区间上的最小值为5,则的值为______.
16.已知是上的减函数,则实数的取值范围为______.
四、解答题
17.已知集合,.
(1)若,求;
(2)若,求实数的取值范围.
18.已知函数.
(1)当时,在给定的坐标系中作出函数的图象,并写出它的单调递减区间;
(2)若,且,求实数.
19.已知函数,,(,且).
(1)判断函数的奇偶性,并予以证明;
(2)求使的的取值范围.
20.已知函数.
(1)判断函数的单调性,并证明你的结论;
(2)若方程在有解,求实数的取值范围.
21.为践行“绿水青山,就是金山银山”,我省决定净化闽江上游水域的水质.省环保局于2018年年底在闽江上游水域投入一些蒲草,这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快,2019年2月底测得蒲草覆盖面积为,2019年3月底测得蒲草覆盖面积为.设经过个月蒲草覆盖面积为(单位:),,的关系有以下两个函数模型(,)与()可供选择.
(1)分别求出两个函数模型的解析式;
(2)若2018年年底测得蒲草覆盖面积为,从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型,试估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能超过?(参考数据:,)
22.已知函数(,是常数且)的一个零点是2,且方程有两相等实根.
(1)求的解析式;
(2)问是否存在实数,()使的定义域和值域分别为和,如果存在,求出,的值;如果不存在,说明理由.(艺术班选做)
参考答案
1.【答案】C 2.【答案】B 3.【答案】A 4.【答案】B
5.【答案】C
【详解】∵是幂函数,∴,解得或2,
时,在上是减函数,符合题意,
时,在上是增函数,不符合题意.
6.【答案】B
【详解】由指数函数的性质,可得,即
根据对数函数的性质,可得,因为,所以,综上可得.
7.【答案】D
【详解】为偶函数,且在上单调递减,在单调递增,,,
画出函数的大致图像易得有4个零点.
8.【答案】A
【详解】设原有溶质的半成品数量为,含杂质,经过次过滤,含杂质,
要使该溶质经过次过滤后杂质含量不超过0.01%,则,
即,所以.
9.【答案】ABC
10. AD 【解析】由不等式性质可知A成立.因为,所以是减函数,
又,所以,D成立.
11.【答案】ACD
【解析】A项,是上的奇函数,故得,A对;
对于B项,当时,在上为增函数,利用奇函数的对称性可知,
在上为增函数,故是上的增函数,B不符合题意;
对于C项,当时,得又是增函数,所以零点唯一,C对;
,D对.
12. BCD
解:由题意可知,函数过点和点,
代入函数关系式:(,且;,且),
得,解得,∴函数关系式为.
由不是常数,可知浮萍每个月的面积不等,且每个月是上个月的2倍,每月的增长事为1,
故A错误,C正确;
当时,,浮萍的面积超过了,故B正确,
令得:;令得:;令得:,
∴,故D正确.故选:BCD.
13.答案:2;14.答案:2
15.答案:20
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