相似三角形常见模型(总结材料).docx

第一部分 相似三角形模型分析 一、相似三角形判定的基本模型认识 （一）A 字型、反A 字型（斜A 字型） A DE D E DEB C B D E （平行） （不平行） （二）8 字型、反 8 字型 A JDA B J D B O C D C  （蝴蝶型） （平行） （不平行） （三）母子型 DA D A DB C C D （四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景 （五）一线三直角型： （六）双垂型： A D C 旋转型：由 旋转型：由 A 字型旋转得到。 8 字型拓展 一线三直角的变形A 一线三直角的变形 EFG E F G 一线三等角的变形D B C E 共享性 B C 一线三等角的变形 第二部分 相似三角形典型例题讲解 母子型相似三角形 求证： OC 2 ? OA?OE ．例 1：如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC、BD 交于点 O， 求证： OC 2 ? OA?OE ． BDE例 2：已知：如图，△ABC 中，点 E 在中线 AD 上, ?DEB ? ?ABC B D E 求证：（1） DB 2 ? DE ? DA ； （2） ?DCE ? ?DAC ． A C 例 3 例 3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于 D，CG∥AB，BG 分别交 AD、AC 于 E、F． 求证： BE 2 ? EF ? EG ． 1、如图，已知 AD 为△ABC 的角平分线，EF 为 AD 的垂直平分线．求证： FD2  ? FB ? FC ． 2、已知：AD 是 Rt△ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF是 AD 的垂直平分线交 AD 于 M，EF、BC 的延长线交于一点N。求证： 2、已知：AD 是 Rt△ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是 AD 的垂直平分线交 AD 于 M，EF、BC 的延长线交于一点 N。 求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND 2 =NC·NB A4. A 4.在?ABC 中，AB=AC，高AD与BE交于H， EF?BC ，垂足为F，延长AD M 到G， E 使DG=EF，M是AH的中点。 求证： ?GBM ? 90? B H D F C 5．（本题满分 14 分，第（1）小题满分 4 分，第（2）、（3）小题满分各 5 分） BP已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P 是斜边 AB 上的一个动点，PD⊥AB，交边 AC 于点 D（点 D 与点 A、C 都不重合），E 是射线 DC 上一点，且∠EPD= B P A．设 A、P 两点的距离为 x，△BEP 的面积为 y． 求证：AE=2PE； A D E C （第 25 题图） 求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域； 当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积． 双垂型 1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD、CE 分别是 AC、AB 上的高 A 求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；(3)BC=2ED E D 2、如图，已知锐角△ABC，AD、CE 分别是 BC、AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分B别是 27 和 3，DE=6 2 ，C 求：点B 到直线 AC 的距离。 A A E B D C 共享型相似三角形 1、△ABC 是等边三角形,D、B、C、E 在一条直线上,∠DAE=120 ，已知 BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长. A D B C E 2、已知：如图，在 Rt△ABC 中，AB=AC，∠DAE=45°． 求证：（1）△ABE∽△ACD； （2） BC 2 ? 2BE ? CD ． 一线三等角型相似三角形 AEF例 1：如图，等边△ABC 中，边长为 6，D 是 BC 上动点，∠EDF A E F 求证：△BDE∽△CFD 当 BD=1，FC=3 时，求 BE B D C 例 2：（1）在?ABC 中， AB ? AC ? 5 ， BC ? 8 ，点 P 、Q 分别在射线CB 、 AC 上（点P 不与点C 、点 B 重合），且保持?APQ ? ?ABC . ①若点 P 在线段CB 上（如图），且 BP ? 6 ，求线段CQ 的长； ②若 BP ? x ， CQ ? y ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域； AQ A A Q A A B P C B C 备用图 B C 备用图 正方形 ABCD 的边长为5 （如下图），点 P 、Q 分别在直．线．CB 、 DC 上（点 P 不与点C 、点 B 重 A ADBDE合），且保持?APQ ? 90?.当CQ ? 1 时，求出线段 A D B D E D A