矩阵的特征值、特征向量.pptxVIP

第一节 矩阵的特征值和特征向量相似矩阵及二次型一、特征值和特征向量的概念二、特征值和特征向量的性质三、小结 思考题第一页，共三十九页。 返回 上页下页—、特征值和特征向量的概念和非零向量x,定义 1 设A 是n 阶矩阵，如果存在数使得则称： 是矩阵A 的特征值；x 是A 的对应于(或属于)特征值 的特征向量.第二页，共三十九页。 返回 上页 下页(2) 由于亦可写成齐次线性方程组说明(1) 特征向量 xO；特征值问题是对方阵而言的；因此，使得阵A 的特征值.即，使得有非零解的 值都是矩的 值都是矩阵A 的特征值.第三页，共三十九页。 返回 上页 下页定义 2 设n 阶矩阵，记则，称为A 的特征矩阵.称为A 的特征多项式；称为A 的特征方程；第四页，共三十九页。 返回 上页 下页说明( n 阶矩阵A 的特征多项式)(1)是 的n 次多项式，若设其一般形式为；则， 的系数的系数；常数项.第五页，共三十九页。 返回上页下页(2) 求特征值，就是求特征方程 的根；(3)有n 个根 (其中有些根可能相同)，其中的k 重根也称为k 重特征值.(4) 需要注意，即使是n 阶实矩阵，但其特征方程可能有复数根，相应的，特征向量也可能是复向量.( 是全体 n 维复向量构成的向量空间)即，一般而言，特征值特征向量(复数域)第六页，共三十九页。 返回 上页下页例 1 求矩阵的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式为令，得 A 的 3 个特征值：(单重特征值)(二重特征值)第七页，共三十九页。 返回 上页 下页② 当时，解方程组.得基础解系于是，对应于的全部特征向量为第九页，共三十九页。 如果A 是 n 阶对角阵或上(下)三角阵，返回 上页下页，证 设对角矩阵 A 的主对角元为则，特征多项式为那么，A 的特征值就是其n 个主对角元.令 ，可得对角阵的特征值就是其主对角元.上式亦为上(下)三角阵的特征多项式，故有同样结论.第十页，共三十九页。 返回 上页 下页中，；；的系数的系数常数项.二、特征值和特征向量的性质n 阶矩阵A 的主对角元之和，称为A 的迹[记作tr(A)].证 前面指出，在特征多项式的n 个特征值为,定理 1 设n 阶矩阵则，①②第十一页，共三十九页。 返回 上页 下页是特征方程的根，的系数和常证毕另外，即，的系数；常数项 .的系数和特征多项式相同，因此数项也与特征多项式必相同，即第十二页，共三十九页。 返回 上页 下页说明，故，若，则A 的特征值全为非零数；若，则A 至少有一个特征值等于零.第十三页，共三十九页。 返回 上页 下页例 2 已知，求 (1) x, y；(2)的2 个特征值为；(3) 的秩.解 (1)(2) 2 是一个特征值，故(3) 3 不是特征值，即故是，满秩矩阵，.第十四页，共三十九页。 返回 上页 下页证定理 2 设则都是A 的属于特征值也是 A 的属于特征值的特征向量，的特征向量.(其中 k1, k2 为任意常数，但)说明 A 的属于特征值0 的全体特征向量是：的解集中除零向量外的全体解向量.由于的解，都是因此，也是的解.时，是A 的属于特征值 的故，当特征向量. 证毕第十五页，共三十九页。 返回 上页 下页例 3 求矩阵的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式为令，得 A 的 3 个特征值：(单重根)(二重根)第十六页，共三十九页。 返回 上页 下页将特征值分别代入，求出特征向量：① 当 时，解方程组.得基础解系则，对应于的全部特征向量为.第十七页，共三十九页。 返回 上页 下页② 当时，解方程组.得基础解系则，对应于的全部特征向量为第十八页，共三十九页。 返回 上页 下页性质 1 设0 是矩阵 A 的特征值，是A 的属于0 的特征向量，则① k 0 是 kA 的特征值 (k 是任意常数)；② 是的特征值 (m 是正整数)；③ 设一个 k 次多项式则，是矩阵 A 的 k 次多项式，的特征值；④ 若 A 可逆，则是 的特征值；并且， 仍然是以上①②③④中这些矩阵的分别属于特征值 的特征向量.第十九页，共三十九页。 因此， 是 的特征值 ，是 的对应于特征值的特征向量.证毕返回 上页 下页证 这里只证明性质②，其余留作练习.两端同时左乘A两端同时左乘 A继续进行以上步骤 m－3 次，得第二十页，共三十九页。 返回上页 下页例 4 设是可逆矩阵A 的一个特征值，求的一个特征值.解 根据特征值的性质，的特征值是 ;的特征值是 ;的特征值是;的特征值是第二十二页，共三十九页。 返回 上页 下页性质2 A 和AT 的特征值相同 (即特征多项式相同).证因此， A 和 AT 有完全相同的特征多项式. 证毕，说明 A 和AT 的特征向量不一定相同.例如， 皆有二重特征值但它们相应的特征向量分别为第二十三页，共三十九页。 返回