确定性问题的Monte Carlo方法求解.pptxVIP

确定性问题的Monte Carlo方法 求解 – 定积分 – 椭球偏微分方程 – 线性代数方程组 – 线性积分方程 – 非线性方程组 条件： 1. g (x)=0 2. 则I是一个概率积分 ， I=Pr (a= b) Monte Carlo求解步骤 1. 产生服从分布g (x)的随机变量xi 2. 检查xi是否落入积分区域 。 a=xib 3. 计算落入该区域的概率 随机点( , ) 计算落入G的概率 0 1 1 任选一个有简便办法可以进行抽样的概率密度 函数f(x),是其满足下列条件： f(x) 0, 当g (x) 0时(a x b) jf(x)t=1 (1) (2) 如果记 具体试验步骤 a) 产生[a, b]上的均匀分布随机变量xi(I= 1,2, …,N) ; b) 计算均值 如果a、b为有限值 ， f(x)可取作为均匀分布 如果取一维平均分布 如果 ， 在区域[a, b]上进行N次均匀抽样xi， 则积分值近似为 采用均匀分布抽样的方法叫做简单抽样(Simple sampling) 例1 求积分值 积分函数 则 重要抽样方法就是 ， 以一个权重函数w(x)为分布密度函数 ， 抽 取符合该分布的随机变量Xi， 适当地选取权重函数w(X) ， 使之与原积分函数变化形势相近 ， 则 近似为一常量 ， 则该计算具有很高的精度。 图 . 简单抽样和重要抽样 简单抽样 重要抽样 g (x) g (x) 例2 求积分值 积分函数 选用该函数的级数展开式1-x/2+x2/2-x3/6+ 的一级近似1 为权重函数w(x) 。 如果 ， 在区域[a, b]上进行N次以一个权重函数w(x)为分布密 度函数抽样xi， 则积分值近似为 微分方程及其边界条件 迭代法： 所有网格的解 计算机存储单元 效率低 椭圆微分方程第一边界值 差分方程及其边界条件 MC方法 p Poisson 方程：vu(p)=q(p) ，peD 边界条件： 差分方程： 边界条件： MC方法： 随机游动 设经过ni个内节点P到达边界Q ， 则该次游动的随机变量 取为： Pi2 Pi P i1 Pi4 Pi3 Monte Carlo方法求解椭圆偏微分方程 过程 ➢ 将问题离散化 ， 微分方程转化为差分方程； ➢ 离散空间建立随机行走模型 ， 选取与随机行 走路经有关的随机变量 ， 使该随机变量的期 望值等于所求微分方程在随机行走出发点的 解； ➢ 从所求点出发进行随机行走试验 ， 获得随机 变量集； ➢ 计算随机变量的平均值 ， 获得出发点处的解。 在区域D中取随机点P 以P为中心做不超出D的最 大内接球（圆） S（P） 在S（P） 上取随机点P1 重复上述过程 ， 直至所 取随机点落在边界点Q的 邻域内 ， 游动终止。 取边界值f(Q)为随机变量 取值 。N次游动后 ， 求算 术平均。 连续Monte Carlo解法 P3 P1 P P2 D 屏蔽计算 核临界安全计算 随机服务系统 信号检测 系统模拟 稀薄气体绕流计算 序贯截尾寿命试验 穿透概率 :粒子穿透屏蔽层的份额 用MC方法直接模拟N个粒子在屏蔽层中的历史, 如其中n个粒子穿过屏蔽层 ， 则穿过频率n/N便 是穿透率的无偏估计。 计算粒子的历史终止前的碰撞次数、碰撞前后 粒子的位置、能量和运动方向 。判断粒子是穿 透屏蔽层、被吸收还是能量小于最小值。 方法： 直接、加权、统计估计、指数变换等 共性： – 输入过程 。顾客的到来。 – 排队规则。 – 服务机构。 目的： – 提供最完善的服务 – 成本最低 随机行走 不退行随机行走 自回避随机行走 每次抽样试验不是完全独立的 ， 而是与前一次或者 与以前的所有抽样结果具有一定的概率关系 对于任何一个状态只与前一个状态有关 ， 而与初始 状态无关 ， 该状态序列为Markov链 无论初始状态如何 ， 最终状态（足够多的时间步长 次数） 会遵从某一个惟一 的分布 ， 该分布叫做极限 分布 正则系综来说 ， 温度一定 ， 系统的状态相应与热平 衡分布 ， 即Markov链的极限概率与波尔兹曼因子成 正比 系统各状态出现的概率取决于系统的温度