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广州大学台山附属中学教育集团2023-2024学年度第一学期
期中测试试卷
九年级数学
满分120分,测试用时为90分钟
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题列出的四个选项中,只有一个是正确的,请把答案填写在答题卡上.
1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2. 已知方程,下列说法正确的是( )
A. 只有一个根 B. 只有一个根
C. 有两个根 D. 有两个根
3. 对于二次函数,下列说法中正确的是 ( )
A. 图象的开口向下 B. 函数的最大值为1
C. 图象的对称轴为直线 D. 当时随的增大而减小
4. 把抛物线的图象向左平移2个单位,再向上平移3个单位,所得的抛物线是( )
A. B.
C. D.
5. 将一元二次方程化成的形式,则等于( )
A. -4 B. 4 C. -14 D. 14
6. 某市从2021年开始大力发展旅游产业.据统计,该市2021年旅游收入约为2亿元.预计2023年旅游收入约达到2.88亿元,设该市旅游收入的年平均增长率为,下面所列方程正确的是( )
A. B. C. D.
7. 已知点都在二次函数的图象上,则的大小关系是( )
A. B. C. D.
8. 已知关于的一元二次方程有实数根,则的取值范围是( )
A. B. C. 且 D.
9. 在同一直角坐标系中,一次函数和二次函数的图象大致为 ( )
A. B. C. D.
10. 已知二次函数的图象如图所示,对称轴是直线,下列结论:①;②;③;④,其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题(本大题5小题,每小题3分,共15分)请将下列各题的正确答案填写在答题卷.
11. 抛物线的顶点是_____________.
12. 已知关于的方程的两根分别为,则的值为___________.
13. 若,则_____________.
14. 用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地,使场地的面积为,并且在垂直于墙的一边开一个长的小门(该门用其他材料),若墙长足够长,设该长方形场地的长为,则列方程为_______________.
15. 定义新运算:是实数,,若是方程的两根,则_______________.
三、解答题(一)(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
16. 解下列方程:
(1)
(2)
17. 已知二次函数.
(1)将二次函数化为一般式,并指出该二次函数的一次项系数;
(2)求该抛物线与轴的交点坐标.
18. 如图,已知抛物线经过两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)直接写出不等式的解集.
四、解答题(二)(本大题共3小题,每小题9分,共27分)
19. 商场某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元.为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件.设每件商品降价元.据此规律,请回答:
(1)销售正常情况下,每件商品降价多少元时,商场日盈利可达到2100元?
(2)如何降价,商场可获得最大利润?
20. 已知关于的一元二次方程.
(1)证明:无论取何值,此方程必有实数根;
(2)等腰三角形中,,的长是此方程的两个根,求的值.
21. 阅读并回答问题:
小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学.一天他在解方程时,突发奇想:在实数范围内无解,如果存在一个数,使,那么当时,有,从而是方程的两个根.
据此可知:
(1)可以运算,例如:,则_________,__________,__________;
(2)解方程:(根用表示),请写出解题过程.
五、解答题(三)(本大题共2小题,每题12分,共24分)
22. 如图,在矩形中,,点以的速度从顶点出发沿折线向点运动,同时点以的速度从顶点出发沿边向点运动.当其中一个动点到达末端停止运动时,另一点也停止运动.
(1)若运动时间为秒,则______________,_____________.
(2)两动点运动几秒,使四边形的面积是矩形面积的?
(3)是否存在某一时刻,点与点之间的距离为?若存在,求出运动所需的时间;若不存在,请
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