专题29 排列组合（原卷版）.docVIP

。专题29 排列组合 。 【考点预测】 知识点1、排列与排列数 (1)定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素 的一个排列.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m 个 元素的排列数，用符号A”表示. 特例：当m=n 时，A=n!=n(n-1)(n-2)…3·2·1; 规定：0!=1. (3)排列数的性质： ①4”=n?:② ;③4”=mdC+4C+ · (4 )解排列应用题的基本思路： 通过审题，找出问题中的元素是什么,是否与顺序有关，有无特殊限制条件(特殊位置，特殊元素). 注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，A”=n(n-1)…(n-m+1) 常 用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用 知识点2、组合与组合数 (1)定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素 的一个组合.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个 元素的组合数，用符号C 表示. (2)组合数公式及其推导 求从n个不同元素中取出m 个元素的排列数A””,可以按以下两步来考虑： 第一步，先求出从这n 个不同元素中取出m 个元素的组合数C,”; 第二步，求每一个组合中m 个元素的全排列数A”; 根据分步计数原理，得到A“”=C,·A”; 因 此 这里n,m∈N, 且 m≤n, 这个公式叫做组合数公式.因为 所以组合数公式还可表 示为： 特例： 注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法!在以后学习排列组合的混合问题时， 一般都是 按先取后排(先组合后排列)的顺序解决问题.公：常用于具体数字计算， 常用于含字母算式的化简或证明. (3)组合数的主要性质：①C=C”;②C+CF1= (4)组合应用题的常见题型： ①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型 ②“至少”或“最多”含有几个元素的题型 知识点3、排列和组合的区别 组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工. 排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同. 注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别 在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题.排列 是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后 排列”. 知识点4、解决排列组合综合问题的一般过程 1、认真审题，确定要做什么事； 2、 确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清楚分多少类及 多少步； 3、 确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少个 元素； 4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略. 【典例例题】 例1.(2023·辽宁阜新·高二校考期末)如图，提供4种不同的颜色给图中A,B,C,D 四块区域涂色， 若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( ) 种 . A.12 B.36 C.48 D.72 例2.(2023·湖南长沙·高二雅礼中学统考期末)6名志愿者分配到3个社区参加服务工作，每名志愿者只 分配到一个社区，每个社区至少分配一名志愿者且人数各不相同，不同的分配方案共有( ) A.540 种 B.360 种 C.180 种 D.120 种 例3.(2023·辽宁营口·高二统考期末)有5名学生全部分配到4个地区进行社会实践，且每名学生只去一 个地区，其中A 地区分配了1名学生的分配方法共( ) 种 A.120 B.180 C.405 D.781 例4.(2023·河南南阳·高二统考期末)将甲，乙等5名志愿者全部分派到4个核酸采样点协助工作(每个 采样点至少1人),其中甲，乙两人不能去同一个采样点，则不同的分派方案共有( ) A.120 种 B.216 种 C.240 种