专题10 双曲线中的最值问题(解析版)2024年新高考数学之圆锥曲线专项重难点突破练（新高考专用）.docxVIP

第 第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 16 页 专题10 双曲线中的最值问题 限时：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的右支上，则的最小值为（????） A． B． C． D． 【解析】因为动点在双曲线的右支上，由双曲线定义可得：， 所以，因为，，所以，， 所以，将代入得： .故选：B． 2．过椭圆右焦点F的圆与圆外切，该圆直径的端点Q的轨迹记为曲线C，若P为曲线C上的一动点，则长度最小值为（????） A．0 B． C．1 D．2 【解析】椭圆，，所以. 设以为直径的圆圆心为，如图所示： 因为圆与圆外切，所以，因为，， 所以， 所以的轨迹为：以为焦点，的双曲线的右支. 即，曲线. 所以为曲线上的一动点，则长度最小值为.故选：C 3．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则的最小值为（????） A． B． C． D． 【解析】由题意得，故， 如图所示： 到渐近线的距离, 则，当且仅当，，三点共线时取等号， ∴的最小值为.故选：D 4．已知点A在双曲线C：（b0）上，且双曲线C的上?下焦点分别为F1，F2，点B在∠F1AF2的平分线上，BF2⊥AB，若点D在直线l：，则|BD|的最小值为（????） A． B． C． D． 【解析】作出图形如图所示， 设A为双曲线C下支上的一点，延长F2B与AF1交于点M，连接OB， 由BF2⊥AB，且∠F1AB=∠F2AB，可得， 故，故，则点B落在圆上, 因为点O到直线l：的距离为，故的最小值为，故选：D 5．已知双曲线的右焦点为F，，直线MF与y轴交于点N，点P为双曲线上一动点，且，直线MP与以MN为直径的圆交于点M?Q，则的最大值为（????） A．48 B．49 C．50 D．42 【解析】由双曲线方程知：右焦点，在双曲线上， 直线方程为，令，解得：，； 以为直径的圆的圆心为，且．连接， 在以为直径的圆上，，， ； 为双曲线上一点，且，，；故选：A 6．已知直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，若，则的最小值为（????） A．20 B．22 C．24 D．25 【解析】依题意得直线与的斜率都存在且不为0， 不妨设直线的方程为，则直线的方程为． 设，，联立，得，则，， ， 同理可得， ， 所以 即，当且仅当时等号成立．故选：C 7．双曲线右焦点为，离心率为，，以为圆心，长为半径的圆与双曲线有公共点，则最小值为（????） A． B． C． D． 【解析】由题意，右焦点，又，则，， 以为圆心，为半径的圆的方程为， 联立方程组，得， 由圆与双曲线有公共点，所以， 即，结合， 化简为， 由方程两根为：，， 所以不等式的解为，或，由已知，得 所以，当时，取得最小值.故选：A 8．设双曲线：的离心率为，过左焦点作倾斜角为的直线依次交的左右两支于，，则有．若，为的中点，则直线斜率的最小值是（????） A． B． C． D． 【解析】因为，所以，又， 所以，则，所以， 设，，则，， 所以，即， 所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，即直线斜率的最小值是. ?? 故选：C 二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的. 9．已知双曲线C的方程为，则下列说法正确的是（????） A．双曲线C的渐近线方程为 B．双曲线C的实轴长为8 C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为3 D．双曲线C上的点到焦点的距离的最小值为 【解析】由双曲线C的方程为，得：，， 对于A：双曲线C的渐近线方程为，故A正确； 对于B：双曲线C的实轴长为，故B正确； 对于C：取焦点，则焦点到渐近线的距离，故C正确； 对于D：双曲线C上的点到焦点距离的最小值为，故D错误； 故选：ABC. 10．已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于两点，，则（????） A．若在双曲线右支上，则的最短长度为1 B．若，同在双曲线右支上，则的斜率大于 C．的最短长度为6 D．满足的直线有4条 【解析】由双曲线可得，，所以， 对于A：若在双曲线右支上，则的最短长度为，故选项A正确； 对于B：双曲线的渐近线方程为：，若，同在双曲线右支上，则的斜率大于或小于，故选项B不正确； 对于C：当，同在双曲线右支上时，轴时，最短，将代入可得，此时，当，在双曲线两支上时，最短为实轴长，所以的最短长度为，故选项C不正确； 对于D：当，同在双曲线右支上时，，当，在双曲线两支上时，，根据双曲线对称性可知：满足的直线有4条，故选项D正确； 故选：AD. 11．已知为坐标原点，双曲线（，）的左、右焦点分别