第二十四章描述统计-第二节离散程度的测度及第三节分布形态的测度（一）.docVIP

第二节 离散程度的测度 【本节知识点】 离散程度的测度指标 方差、标准差的含义及适用 离散系数的含义及作用 【本节内容精讲】 【知识点】离散程度的测度指标离散程度反映的是各变量值远离中心值的程度。衡量离散程度的指标包括方差、标准差、离散系数。集中趋势的测度值是对数据一般水平的一个概括性变量，它对一组数据的代表程度，取决于该组数据的离散水平。数据的离散程度越大，集中趋势的测度值对该组数据的代表性就越差，离散程度越小，其代表性就越好。 【知识点】方差和标准差 1、方差与标准差的含义（1）方差是数据组中各数值与其均值离差平方的平均数。是实际中应用最广泛的离散程度测度值。方差越小，说明数据值与均值的平均距离越小，均值的代表性越好。方差的单位是原数据的平方。 （2）标准差：方差的平方根，不仅能度量数值与均值的平均距离，还与原始数值具有相同的计量单位。 2、方差与标准差的适用 方差、标准差只适用于数值型数据，易受极端值的影响。标准差的大小不仅与数据的测度单位有关，也与观测值的均值大小有关，不能直接用标准差比较不同变量的离散程度 【知识点】离散系数 1.含义：离散系数也称为变异系数或标准差系数，即标准差与均值的比值。 2.作用：离散系数消除了测度单位和观测值水平不同的影响，因而可以直接用来比较变量的离散程度。 【例题：单选题】某学校学生的平均年龄为20岁，标准差为3岁；该校教师的平均年龄为38岁，标准差为3岁。比较该校学生年龄和教师年龄的离散程度，则（　）。 A.学生年龄和教师年龄的离散程度相同 B.教师年龄的离散程度大一些 C.教师年龄的离散程度是学生年龄离散程度的1.9倍 D.学生年龄的离散程度大一些 【答案】D 【解析】平均值不同的情况下，用离散系数比较离散程度。 学生年龄的离散系数=3/20*100%=15% 教师年龄的离散系数=3/38*100%=7.89% 离散系数大的说明数据的离散程度也就大，离散系数小的说明数据的离散程度也就小。 【例题：2011年单选题】下列离散程度的测度值中，能够消除变量值水平和计量单位对测度值影响的是()。 A．标准差 B．离散系数 C．方差 D．极差 【答案】B【解析】通过本题掌握离散系数的作用。 【例题：2015年多选题】下列统计量中，容易受极端值影响的有（） A均值 B方差 C众数 D中位数 E标准差 【答案】ABE 【解析】容易受极端值影响的是方差、标准差、均值。 第三节 分布形态的测度 【本节知识点】 1.分布形态的测度指标 2.偏态系数不同取值的含义 3.标准分数的含义及作用 【本节内容精讲】 【知识点】分布形态的测度指标 分布形态的测度指标包括偏态系数和标准分数。 【知识点】偏态系数 项目 主要内容 偏度 数据分布的偏斜方向和程度，描述的是数据分布对称程度 偏态 系数 测度数据分布偏度的统计量，取决于离差三次方的平均数与标准差三次方的比值。 偏 态 系 数 的 取 值 等于0 数据的分布是对称的。 偏态系数0： 分布为右偏。 1.取值在0和0.5之间，轻度右偏； 2.取值在0.5和1之间，中度右偏； 3.取值大于1，严重右偏； 偏态系数0 分布为左偏。 1.取值在0和-0.5之间，轻度左偏； 2.取值在-0.5和-1之间，中度左偏； 3.取值小于-1，严重左偏； 偏态系数的绝对值越大 数据分布的偏斜程度越大； 【例题：2015年多选题】某企业员工年收入数据分布的偏态系数为3.0，则该组数据的分布形态为（） A右偏 B左偏 C严重倾斜 D轻度倾斜 E中度倾斜 【答案】AC【解析】偏态系数等于3，说明该组数据是严重右偏。 【知识点】标准分数 （一）标准分数的含义及计算 在统计上，均值和标准差不同时，不同变量的数值是不能比较的，来自不同分布的变量值不可比，但是每个数值在变量分布中相对于均值的相对位置是可比的，因此可以通过计算标准分数来比较不同变量的取值。 【例题：标准分数举例】某班2016年中级经济师考试中，已知公共课考试的全班平均分为110分，标准差为10分，张三得了116分；专业课考试的全班平均分为100分，标准差为8分，张三得了107分。张三哪一门考试成绩比较好？ 【分析】 1.因为两科考试的标准差不同，因此不能用原始分数直接比较。需要将原始分数转换成标准分数，然后进行比较。 2.标准分数的计算 标准分数Z=（原始分数Xi-平均分数X）÷标准差s 【补充】标准分数表示一个给定的分数距离平均数有多少个标准差，含有标准差的个数越多，说明该分数和平均数的距离越大（标准分数越大越好） 【接上例】 张三Z(公共课)=(116-110)/10=0.6 张三Z(专业课)=(107-100)/8=0.875 3.两门课程的比较 张三的公共课成绩在其整体分布中