专题09 双曲线的焦点弦、中点弦、弦长问题(解析版)2024年新高考数学之圆锥曲线专项重难点突破练（新高考专用）.docxVIP

第 第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 16 页 专题09 双曲线的焦点弦、中点弦、弦长问题 限时：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知双曲线C：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长（????） A．7 B．8 C．9 D．10 【解析】双曲线C：的一条渐近线方程是，，即左焦点，，，，，双曲线C的方程为易知直线l的方程为，设，，由，消去y可得，，故选：D 2．已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为（????） A． B． C． D． 【解析】设，则有，， 两式相减得到，又线段的中点坐标为， 所以，得到，所以的斜率为.故选：B. 3．已知双曲线与直线相交于A、B两点，弦AB的中点M的横坐标为，则双曲线C的渐近线方程为（????） A． B． C． D． 【解析】设，，则，由点差法得． ∵，∴，，∴，又， ∴，∴渐近线方程为.故选：A． 4．已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于，两点，若，则的面积等于（????） A．18 B．10 C．9 D．6 【解析】直线与双曲线交于，两点，若， 则四边形为矩形，所以，， ?? 由双曲线可得，，则， 所以，所以，又， 所以，解得，所以．故选：C． 5．已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M?N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（????） A． B． C． D． 【解析】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线MN为，联立双曲线： 设，则，所以，解得， 则，.弦长|MN|.故选：D. 6．已知，分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆的面积为（????） A． B． C． D． 【解析】设，由题意知，直线的斜率为， 则直线的方程为，∴，化简整理得， 即，∴或（舍去）， 则，即，∴，， 设的内切圆的圆心为Q，半径为r，连接，，， 则由，得， ∴，得，（利用等面积法求内切圆的半径） 故的内切圆的面积为．故选：B． 7．已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，以为直径的圆与的两条渐近线分别交于与原点不重合的两点，，若，则四边形的面积为（????） A．6 B． C． D．4 【解析】设与轴交于点，由双曲线的对称性可知轴，，， 又因为，所以，即， 所以，因为点在以为直径的圆上，所以，所在的渐近线方程为， 点到渐进线距离为，所以， 所以，，则， 所以，故选：B 8．设A，B分别是双曲线x2-=1的左、右顶点，设过P的直线PA，PB与双曲线分别交于点M，N，直线MN交x轴于点Q，过Q的直线交双曲线的右支于S，T两点，且=2，则△BST的面积为（????） A． B． C． D． 【解析】双曲线x2-=1的左、右顶点分别为A(-1，0)，B(1，0)，又P， ∴直线PA的方程为x=-1，PB的方程为x=-+1， 联立可得y2-=0，解得y=0或y=， 将y=代入x=-1可得x=，即有M， 联立可得y2-y=0， 解得y=0或y=，将y=代入x=-+1，可得x=，即N 设Q(s，0)，由M，N，Q三点共线，可得kMN=kQN，即有=， 将M，N的坐标代入化简可得=，解得s=2，即Q(2，0)， 设过Q的直线方程为x=my+2，联立得(3m2-1)y2+12my+9=0， 设S(x1，y1)，T(x2，y2)，可得y1+y2=-，y1y2=， Δ=144m2-36(3m2-1)0恒成立，又=2，∴y1=-2y2，∴-2·=， 解得m2=，可得S△BST=|BQ|·|y1-y2|=|y1-y2|= =·=3·=故选：A． 二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的. 9．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，点是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点，则（????） A．的面积为 B．点的横坐标为2或 C．的渐近线方程为 D．以线段为直径的圆的方程为 【解析】由双曲线方程知，，所以双曲线的渐近线方程为，故C错误； 又，所以为直径的圆方程为，故D错误； 由，得或，所以点的横坐标为2或，故B正确； 又，所以，故A正确． 故选：AB． 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，点在双曲线上，则下列结论正确的是（????） A．该双曲线的离心率为 B．若，则的面积为 C．点到两渐近线的距离乘积为 D．直线和直线的斜率乘积为 【解析】由双曲线方程得，，，双曲线的离心率为，A正确； 若，不妨设，，，B错误； 设，则，，渐近线方程