专题03 椭圆中的最值问题(解析版)2024年新高考数学之圆锥曲线专项重难点突破练（新高考专用）.docxVIP

第 第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 16 页 专题03 椭圆中的最值问题 限时：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知点P为椭圆上任意一点，点M、N分别为和上的点，则的最大值为（????） A．4 B．5 C．6 D．7 【解析】设圆和圆的圆心分别为,半径分别为. 则椭圆的焦点为.又,，， 故，当且仅当分别在的延长线上时取等号. 此时最大值为.故选：C. 2．点为椭圆上任意一点，分别为左、右焦点，则的最大值为（????） A．2 B．3 C．4 D．不存在 【解析】?? 设， 所以， 所以当时，取到最大值，最大值为3．故选：B． 3．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，圆：，点P和点B分别为椭圆C和圆A上的动点，当取最小值3时，的面积为（????） A． B． C．2 D． 【解析】由题知，所以. 所以， 因为，所以， 所以.当P，B两点在的延长线上时，等号成立. 所以，所以，. 所以直线的方程为，即，与方程联立， 可得，解得（负值已舍去，其中为点P的纵坐标）. 所以的面积为.故选：A. 4．设、是椭圆的左、右焦点，点P是直线上一点，则的最大值是（????） A． B． C． D． 【解析】由题意得：，则，所以. 因为点P是直线上一点， 不妨设, 设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，， 于是， 当且仅当时等号成立，因为在上单调递增， 所以的最大值是.故选:A. 5．已知椭圆.过点作圆的切线交椭圆于两点.将表示为的函数，则的最大值是（????） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】由题意知，， 当时，切线的方程为，点，的坐标分别为，，此时； 当时，同理可得；当时，设切线方程为， 由得， 设，两点两点坐标分别为，，则，， 又由于圆相切，得，即， ∴， 由于当时，，∴，， ∵，当且仅当时，，∴的最大值为2．故选：B. 6．过椭圆C：上的点，分别作C的切线，若两切线的交点恰好在直线：上，则的最小值为（????） A． B． C．－9 D． 【解析】先证椭圆的切线方程：对于上一点，过点的切线方程为， 证明：当该切线存在斜率时，不妨设其方程为，与椭圆方程联立可得： ， 则， 代入切线方程得，于是，从而切线方程为， 整理得： 由椭圆方程，知，，所以． 设两切线交点，易得切线PA的方程为， 切线PB的方程为．由于点P在切线PA、PB上， 则，故直线AB的方程为， 联立方程，消去得，显然， 由韦达定理得．即的最小值为．故选：B． 7．已知O为坐标原点，椭圆上两点A，B满足．若椭圆C上一点M满足，则的最大值为（????） A．1 B． C． D．2 【解析】设，则，由，得， ， 由，得，即，又，因此， 而，于是，当且仅当时取“＝”， 所以的最大值为.故选：B 8．已知，是椭圆：的两个焦点，为上一点，则的最小值为（????） A． B．8 C． D． 【解析】由题意得：椭圆：的两个焦点在y轴上，且，故， 则，故，由椭圆定义可知：， 设，则由椭圆性质可知：，故，， 其中， 令，则，则， 由对勾函数的性质可知：在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为， 故，等且仅当时，等号成立.故选：D 二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的. 9．已知点是椭圆上的动点，点且，则|PQ|最小时，m的值可能是（????） A．-1 B． C．a D．3a 【解析】因为点在椭圆上，所以， 所以 ，若，当时，最小， 若，当时，最小.故选：BD. 10．已知F为椭圆的左焦点．设P是椭圆C的右准线上一点，过点P作椭圆O的两条切线，切点分别为A，B，则（????） A．的最小值为 B．的最小值为1 C．的面积为定值 D．的周长为定值 【解析】椭圆的标准方程为，故右准线方程为， 设，设， 则椭圆在点处的切线为，椭圆在点处的切线为， 故，，整理得到：，， 故，故过定点即过右焦点. 于是的最小值为通径长，故A错误. 的周长为定值，故B正确.． 考虑到当点P的纵坐标趋于无穷大时，趋于椭圆的长轴， 因此的面积必然不为定值，故C错误. 故选：BD. 11．已知，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是（????） A．椭圆的离心率为 B．的最大值为4 C．的最大值为3 D．的最大值为 【解析】由椭圆方程得，，，因此，， 选项A中，，，故，A错误； 选项B中，，当且仅当时取等号，B正确； 选项C中，令，则，故C正确； 选项D中，当点为短轴的端点时，取得最大值，此时， 则，，的最大值为，D正确. 故选：BCD. ?? 12．已知F，分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆