专题02 椭圆的焦点弦，中点弦，弦长问题(解析版)2024年新高考数学之圆锥曲线专项重难点突破练（新高考专用）.docxVIP

第 第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 17 页 专题02 椭圆的焦点弦，中点弦，弦长问题 限时：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．过椭圆的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于两点，则等于（　　） A．4 B．2 C．1 D．4 【解析】因为椭圆，可得，所以， 所以椭圆的右焦点的坐标为， 将，代入椭圆的方程，求得，所以.故选：C. 2．直线，当k变化时，此直线被椭圆截得的弦长的最大值是（????） A．2 B． C．4 D．不能确定 【解析】直线恒过定点，且点在椭圆上， 设另外一个交点为，所以，则，弦长为，当时，弦长最大，为.故选：B. 3．若椭圆的弦的中点为，则弦的长为（　　） A． B． C． D． 【解析】设，因为弦的中点为，可得， 又因为在椭圆上，可得， 两式相减可得， 可得，即直线的斜率为， 所以弦的直线方程为，即， 联立方程组，整理得，可得， 由弦长公式，可得.故选：A. 4．椭圆内有一点，设某条弦过点P且以P为中点，那么这条弦所在直线的方程为（????） A． B． C． D． 【解析】设满足题意的直线与椭圆交于两点，则，， 两式相减得，即. 又直线过，由此可得所求的直线方程为， 所以弦所在直线的方程为，故选：B. 5．已知椭圆的左焦点为，离心率为．倾斜角为的直线与交于两点，并且满足，则的离心率为（????） A． B． C． D． 【解析】设，则，由， 消去，得， 注意到，则.于是， 同理，. 因此. 的倾斜角为，∴直线的斜率，根据弦长公式，可得. 由，可得，故. ．故选：A 6．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若，且，则的方程为（????） A． B． C． D． 【解析】右焦点，， 设,,,，由可知是的中点，，， 且，两式相减得， ，，，， 故椭圆方程为，故选：C 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点（其中点在点的左侧），记面积为，则下列结论错误的是（????） A． B．时， C．的最大值为 D．当时，点的横坐标为 【解析】由椭圆，可得，，，由对称性可知， ∴，故A正确； 设，，，，若时，可得，解得，故B错误； ∵直线与椭圆交于，两点， ∴，两点的坐标分别为，， ∴ ，当且仅当，即时取等号，故C正确； 、的坐标分别为，设，当时，，设，则，∴由余弦定理可得， ∴，∴， ∴，又，∴， ∵又，解得，故D正确.故选：B. 8．已知A，B两点的坐标分别为，，O是坐标原点，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是．斜率为l的直线与点M的轨迹交于P，Q两点，则的面积的最大值是（????） A． B． C．1 D． 【解析】设因为满足与的斜率之积为， 所以有；M的轨迹为 设直线，联立，可得， ， 点O到直线的距离， ，故选：D. 二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的. 9．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点．若的中点坐标为，则（????） A．直线的方程为 B． C．椭圆的标准方程为 D．椭圆的离心率为 【解析】因为直线过点和点，所以直线的方程为， 代入椭圆方程，消去，得， 所以的中点的横坐标为，即， 又，所以，离心率为，所以圆的方程为．故选：ABD． ?? 10．已知椭圆内一点，上、下焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，则下列结论正确的是（????） A．椭圆的焦点坐标为， B．椭圆的长轴长为 C．直线的方程为 D．的周长为 【解析】由椭圆方程知：焦点在轴上，且，，， 即，，，所以椭圆的焦点坐标为，，故A错误； 椭圆的长轴长为，故B正确； 由题意，可设，，则， 两式作差得， 即， 所以直线的方程为，即，故C正确； 由C知，直线过椭圆的上焦点， 根据椭圆的定义，所以的周长为，故D正确．故选：BCD. 11．已知椭圆E：的离心率为，左、右焦点分别为，，上顶点为P，若过且倾斜角为的直线l交椭圆E于A，B两点，的周长为8，则（????） A．直线的斜率为 B．椭圆E的短轴长为4 C． D．四边形的面积为 【解析】对于选项A：设椭圆的半焦距为，因为，解得， 可知， 直线的斜率为，故A正确； 对于选项B：由选项A可知：，且，则为等边三角形， 由题意可知：，即直线l为的角平分线， 则点关于直线l对称，所以的周长为8，则，可得， 所以椭圆E的短轴长为，故B错误； 对于选项C：因为，所以，故C正确， 对于选项D：因为直线l的方程为，椭圆方程为， 设，联立方程，消去x得， 则，可得， 则，点直线l的距离为， 所以四边形的面积为，故D正确； 故选：ACD. ?? 12．已知椭圆，点