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* * 第二章 函数的概念与性质 第4课时 函数性质的综合应用 典例精研·核心考点 考点一 函数的奇偶性与单调性 考点二 函数的奇偶性与周期性 考点三 函数的奇偶性与对称性 考点四 函数的对称性与周期性 01 考点一 函数的奇偶性与单调性 [典例1] (1)(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f (x)在(-∞,0)单调递减,且f (2)=0,则满足xf (x-1)≥0的x的取值范围是( ) A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1] C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3] D 因为函数f (x)为定义在R上的奇函数,则f (0)=0. 又f (x)在(-∞,0)上单调递减,且f (2)=0,画出函数f (x)的大致图象如图①所示,则函数f (x-1)的大致图象如图②所示. 当x≤0时,要满足 xf (x-1)≥0, 则f (x-1)≤0,得-1≤x≤0. 当x>0时,要满足xf (x-1)≥0,则f (x-1)≥0,得1≤x≤3. 故满足xf (x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3].故选D. 图① 图② (2)(多选)定义在R上的奇函数f (x)为减函数,偶函数g(x)在区间[0,+∞)上的图象与f (x)的图象重合,设ab0,则下列不等式中成立的是( ) A.f (b)-f (-a)g(a)-g(-b) B.f (b)-f (-a)g(a)-g(-b) C.f (a)+f (-b)g(b)-g(-a) D.f (a)+f (-b)g(b)-g(-a) AC 函数f (x)为R上的奇函数,且为单调减函数, 偶函数g(x)在区间[0,+∞)上的图象与f (x)的图象重合, 由ab0,得f (a)f (b)0,f (a)=g(a),f (b)=g(b); 对于A,f (b)-f (-a)g(a)-g(-b)?f (b)+f (a)-g(a)+g(b)=2f (b)0(因为f (a)=g(a)在a0上成立),所以A正确; 对于B,f (b)-f (-a)g(a)-g(-b)?f (b)+f (a)-g(a)+g(b)=2f (b)0,这与f (b)0矛盾,所以B错误; 对于C,f (a)+f (-b)g(b)-g(-a)?f (a)-f (b)-g(b)+g(a)=2[f (a)-f (b)]0,这与f (a)f (b)符合,所以C正确; 对于D,f (a)+f (-b)g(b)-g(-a)?f (a)-f (b)-g(b)+g(a)=2[f (a)-f (b)]0,这与f (a)f (b)矛盾,所以D错误. 反思领悟 1 .比较函数值的大小问题,可以利用奇偶性,把不在同一单调区间上的两个或多个自变量转化到同一单调区间上,再利用函数的单调性比较大小; 2.对于抽象函数不等式的求解,应变形为f (x1)f (x2)的形式,再结合单调性,脱去“f”变成常规不等式,转化为x1x2(或x1x2)求解. [跟进训练] 1.(1)已知函数f (x+2)是定义域为R的偶函数,若f (x)在(2,+∞)上单调递减,则不等式f (ln x)<f (1)的解集是( ) A.(0,1)∪(3,+∞) B.(1,3) C.(0,e)∪(e3,+∞) D.(e,e3) C 因为f (x+2)的图象向右平移2个单位长度得到f (x)的图象,且f (x+2)的图象关于y轴对称,所以f (x)的图象关于直线x=2对称. 由f (x)在(2,+∞)上单调递减可得f (x)在(-∞,2)上单调递增,由f (ln x)<f (1),所以ln x<1或ln x>3,解得0<x<e或x>e3. (2)(2023·广东深圳高三期中)已知函数f (x)满足:①?x,y∈R,f (x+y)=f (x)+f (y),②?x>0,f (x)>0,则( ) A.f (x)是偶函数且在(0,+∞)上单调递减 B.f (x)是偶函数且在(0,+∞)上单调递增 C.f (x)是奇函数且单调递减 D.f (x)是奇函数且单调递增 D 因为?x,y∈R,f (x+y)=f (x)+f (y), 所以,令x=y=0得f (0)=f (0)+f (0),即f (0)=0. 令y=-x,得f (0)=f (x)+f (-x)=0,即f (-x)=-f (x), 所以函数f (x)为奇函数. 设x1>x2>0,则x1=x2+(x1-x2),所以f (x1)=f (x2)+f (x1-x2), 即f (x1)-f (x2)=f (x1-x2),因为?x>0,f (x)>0,x1-x2>0,所以f (x1-x2)>0,即f (x1)>f (x2),所以函数f (x)在(0,+∞)上单调递增,所以函数f (x)在R上
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