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实用文档 PAGE PAGE 1 课题1：焦点三角形的性质 椭圆 性质一：焦点三角形1（△PF1F2，P为椭圆上任意一点，F1，F2为椭圆的焦点） 周长=2a+2c； 面积S△PF1F2=== 当即为短轴端点时，的最大值为bc； 面积S△PF1F2= 注意：当最大时，即P为椭圆上下顶点时，面积取得最大值。 面积S△PF1F2=r(a+c)(r为△PF1F2内切圆的半径r;) 焦点三角形△PF1F2的角平分线定理：P为椭圆上任意一点，F1，F2为椭圆的焦点，I为 △PF1F2内切圆的圆心，M为直线PI与F1，F2所在轴的交点；则 证明过程： 同理可证，在椭圆（＞＞0）中，公式仍然成立. 焦点三角形2（△ABF2，AB为过椭圆焦点F1的直线与椭圆的交点，F1，F2为椭圆的焦点） 周长=AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2=4a； 面积S=S△AF1F2+S△BF1F2=+= == 椭圆焦点三角形的性质 性质二：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为 性质三：已知椭圆方程为左右两焦点分别为设焦点三角形，若最大，则点P为椭圆短轴的端点 证明：设,由焦半径公式可知：， 在中， = 性质四：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则 证明：设则在中，由余弦定理得： 命题得证。 性质五：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形，则椭圆的离心率。 由正弦定理得： 由等比定理得： 而， ∴。 性质六：以椭圆的两个焦点，及椭圆上任意一点（除长轴上两个端点外）为顶点的，=，=β， 则离心率 由正弦定理，有 性质七：以椭圆的两个焦点，及椭圆上任意一点（除长轴上两个端点外）为顶点的，设=，=，=β， 则. 证明：在中，由余弦定理，有 整理，得 性质八：已知点是椭圆上任一点，且.则. 证明： 性质九：以椭圆的两个焦点，及椭圆上任意一点（除长轴上两个端点外）为顶点的，设=，则 . 证明：由正弦定理，有 即. 因为，所以 . 当点P在长轴上的端点时，，这时，不存在，因此， 性质十：以椭圆的两个焦点，及椭圆上任意一点（除长轴上两个端点外）为顶点的，=，=β， 则 . 证明：由正弦定理，有 . 双曲线 性质一：焦点三角形（△PF1F2，P为双曲线上任意一点，F1，F2为双曲线的焦点） 面积S△PF1F2=== ； 面积S△PF1F2=（为F1PF2） 证明过程：, 易得时，有 焦点三角形2（△ABF2，AB为过双曲线焦点F1的直线与椭圆的交点，F1，F2为双曲线的焦点） |AF2|+|BF2|﹣|AB|=4a 面积S=S△AF1F2+S△BF1F2=+= == 双曲线焦点三角形的性质 性质一推论：在双曲线（＞0，＞0）中，左右焦点分别为、，当点P是双曲线左支上任意一点，若，则.特别地，当时，有。当点P是双曲线右支上任意一点，若（双曲线渐近线的倾斜角），则 证明：①当P为左支上一点时，记（），由双曲线的定义得，在△中，由余弦定理得： 代入得求得。 得证 特别地，当＝时， ②当P为右支上一点时，记（），由双曲线的定义得， 在△中，由余弦定理得： 代入得求得。 得证 性质二：双曲线焦点三角形的内切圆与F1F2相切于实轴顶点；且当P点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P点在双曲线右支时，切点为右顶点。 证明：设双曲线的焦点三角形的内切圆且三边F1F2，PF1，PF2于点A,B,C，双曲线的两个顶点为A1,A2 ，, 性质三：双曲线离心率为e，其焦点三角形PF1F2的旁心为A，线段PA的延长线交F1F2的延长线于点B，则 证明：由角平分线性质得 性质四：双曲线的焦点三角形PF1F2中， 当点P在双曲线右支上时，有 当点P在双曲线左支上时，有 证明：由正弦定理知 由等比定理，上式转化为 分子分母同除以，得 性质五：以双曲线的两个焦点、及双曲线上任意一点（除实轴上两个端点外）为顶点的，设=，则 图5 证明：在中，由余弦定理，有 ①