专题25 立体几何平行与垂直判断与证明问题（原卷版）.docVIP

第25讲立体几何平行与垂直判断与证明问题 【考点预测】 1、证明空间中直线、平面的平行关系 (1)证明直线与平面平行的常用方法： ①利用定义，证明直线a 与平面α没有公共点， 一般结合反证法证明； ②利用线面平行的判定定理，即线线平行→线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向 进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段； ③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行； (2)证明面面平行的常用方法： ①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合； ②利用面面平行的判定定理； ③利用两个平面垂直于同一条直线； ④证明两个平面同时平行于第三个平面. (3)证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理； 2、证明空间中直线、平面的垂直关系 (1)证明线线垂直的方法 ①等腰三角形底边上的中线是高； ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零； ⑥线面垂直的性质 (a ⊥a,b a→a ⊥b); ⑦平行线垂直直线的传递性 (a⊥c,a //b→b⊥c). (2)证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义； ②线面垂直的判定 (a⊥b,a⊥c,cca,bca,b∩c=P→a⊥a); ③面面垂直的性质 (a⊥ β,a∩β=b,a⊥b,acα→a⊥β); 平行线垂直平面的传递性 (a⊥a, b//a→b⊥a); ⑤面面垂直的性质 (a⊥y, β⊥y,a∩β=l→l⊥y). (3)证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理 ( a ⊥β,aCα→α⊥β). 【典例例题】 例1.(2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测)设m,n 是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，给出下 列命题： ① 若m ⊥a,nlla, 则m ⊥n; ② 若m/n,m≠a,nCa, 则 m/la; ③若α⊥β,m//a, 则 m ⊥β; ④若m ⊥a,mCβ, 则α ⊥β . 其中正确的命题个数为( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 例2.(2023·山东滨州·高三统考期末)已知m,n 为两条不同的直线，α,β为两个不同的平面，则下列 结论正确的是( ) A.α//β,m//a, 则m/lβ B.mCa,nCa,m/β,n//β, C.α∩β=1,mCa,m⊥l, D.m ⊥a,m/ln,a//β, 则α / / β 则 m ⊥β 则n ⊥β 例3.(2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测)设a,b,c是三条不同的直线，α,β,y 是三个不同的平面， 则下列命题中不正确的是( ) A. 若 a//b,b//c, 则 a//c B. 若 a//β,β/lγ, 则α/lγ C. 若α ⊥β, a∩β=c,a⊥c, 则a ⊥β D. 若α//β,β⊥γ,则α⊥y 例4.(2023·高一课时练习)正方体ABCD-ABCD? 中 ，M、N 分别为AB、AD? 的中点， E、F 分别 是BG 、 CD? 的中点. (1)求证： E 、F 、B 、D 共面； (2)求证：平面AMN// 平 面EFDB. 例5.(2023·全国·高二专题练习)在四棱锥P-ABCD 中 ，PA⊥ 底面ABCD, 四边形ABCD 为边长为1的 菱形， PA=2, M 为 PA 中点， N 为 BC 的中点. (1)求证：直线MN// 平 面PC D; (2)求直线AB 与 MD 所成角大小， 例6.(2023·北京顺义·高二统考期末)如图，在三棱柱ABC-A BC 中 ，AC=CC=CB=2, 且 AC ⊥CB, AA⊥ 底 面ABC,E 为 AB 中点 . (1)求证： BC⊥AC; (2)求证： BC// 平 面ACE 例7.(2023·全国·高三专题练习)如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是 ∠DAB=60° 且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD. (1)若G 为 AD 边的中点，求证： BG⊥ 平 面PAD; (2)若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找一点 F, 使得 PA//平面 DEF? 并证明你的结论. 例8.(2023·全国·高三专题练习)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD 为矩形，平面PAD⊥平面A