专题07 椭圆中的向量问题(解析版)2024年新高考数学之圆锥曲线专项重难点突破练（新高考专用）.docxVIP

第 第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 19 页 专题07 椭圆中的向量问题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．点为椭圆的右顶点，为椭圆上一点（不与重合），若（是坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（????） A． B． C． D． 【解析】设，又，且， 则，与椭圆方程联立， 即，解得或，则，即， 即，则，故选：B 2．已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为A，直线与椭圆E的另一个交点为B，若，则椭圆E的离心率为（????） A． B． C． D． 【解析】由题意得，则直线的方程为， 联立，消去y得，则， 所以，因为， 所以，因为，化简得， 即，所以，所以.故选：B. 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，，且，椭圆的离心率为，则实数（????） A． B．2 C． D．3 【解析】因为，设，由椭圆的定义可得：，则，因为，所以， 所以，即，又因为椭圆的离心率为， 所以，则有，所以，则，则， 由，所以，因为，所以， 所以，即，解得：，故选：. 4．在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则的最大值为（????） A． B． C． D． 【解析】，点轨迹是以为焦点，为长轴的椭圆， 点轨迹方程为；设，则，， ， ，当时，.故选：C. 5．已知椭圆：的左?右焦点分别为?，点与椭圆的焦点不重合，分别延长?到?.使，.是椭圆上一点，延长到，使得，则（????） A．3 B．5 C．6 D．10 【解析】由，得， 有，所以， 又，所以， 所以，故， 所以，则， 根据椭圆的定义，得，所以.故选：D 6．已知椭圆为椭圆的左．右焦点，是椭圆上任一点，若的取值范围为，则椭圆方程为（????） A． B． C． D． 【解析】设，，，则 ，， 所以 又，所以 又因为的取值范围为，故，， 所以，得方程为，故选：A 7．已知为椭圆和双曲线的公共焦点，P为其一个公共点，且，，则的取值范围为（????） A． B． C． D． 【解析】解：方法一： 如图1，设椭圆方程为，双曲线方程为， 由题知：，，不妨设点在第一象限，设， 所以在椭圆中，有，在双曲线中有，所以，， 所以在中，由余弦定理得： ， 整理得，所以 所以， 由于， 所以，，故 所以，即，故选：D. 方法二： 如图2，不妨设点在第一象限，由正弦定理得三角形外接圆的半径为， 所以在半径为，圆心为的圆在第一象限的圆弧（不包含端点）上， 所以，所以，所以， 由向量数量积定义得， 由三角形面积公式得：， ，所以， 所以，所以.故选：D. 8．已知椭圆内有一点，过的两条直线、分别与椭圆交于、和、两点，且满足，（其中且），若变化时直线的斜率总为，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 【解析】设,由可得： ，据此可得：，同理可得：， 则：，将点A,B的坐标代入椭圆方程做差可得： ，即：， 同理可得：， 两式相加可得， 故：，据此可得：. 二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的. 9．已知椭圆的左、右两个焦点分别是，，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，则下列说法中正确的有（????） A．当时，的周长为 B．若的中点为，则（为坐标原点，与不重合） C．若，则椭圆的离心率的取值范围是 D．若的最小值为，则椭圆的离心率 【解析】因为弦过椭圆的左焦点，所以的周长为，所以A正确； 设，，则，有，，所以， 由作差得：，所以， 则有，所以B正确； 设，，， 所以， 则有，可得，所以C错误； 由过焦点的弦中垂直于轴的弦最短，则的最小值为，则有，即，解得，所以，故D正确． 故选：ABD 10．已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（????） A．的周长为8 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【解析】 由可得，，，. 对于A项，的周长为，故A项错误； 对于B项，设，，则，所以当点为短轴顶点时，的面积最大，最大面积为，故B项正确； 对于C项，设，，，，则，，则.因为，所以，所以，又， 所以，所以的取值范围为，故C项正确； 对于D项，由可得，，由C知，，则，因为，所以，所以，同理有.所以，当时有最大值4，当或时，值为3，但是且，所以的取值范围为，故D项正确. 故选：BCD. 11．一般地，若，（，且），则称，，，四点构成调和点列.已知椭圆：，过点的直线与椭圆交于，两点.动点满足，，，四点构成调和点列，则下列结论正确的是（????） A．，，，四点共线 B． C．动点的轨迹方程为 D．既有最小值又有最大值 【解析】对于A，因为，，