专题08 幂函数与二次函数（原卷版）.docVIP

专题08 幂函数与二次函数 【题型归纳目录】 题型一：幂函数的定义及其图像 题型二：幂函数性质的综合应用 题型三：二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的实根分布及条件 题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题 【考点预测】 1、幂函数的定义 一 般地， y=x*(a∈R)(a 为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数 称为幂函数. 2、 幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①x° 的系数为1; ②x” 的底数是自变量； ③指数为常数. (3)幂函数的图象和性质 3、 常见的幂函数图像及性质： 函数 y=x y=x2 y=x y=x2 y=x-! 图象 % o T OI OI O O * * O X 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0; 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在R上单 调递增 在(-0,0)上单调递 减，在(0,+o)上单 调递增 在R上单调递 增 在(0,+o)上单调 递增 在(-o,0)和 (0,+o)上单调递 减 公共点 (1,1) (1)一般式： f(x)=ax2+bx+c(a≠0); (2)顶点式： f(x)=a(x-m)2+n(a≠0); (3)零点式： f(x)=a(x-x?)(x-x?)(a≠0), 其 中 ，(m,n) 为抛物线顶点坐标， x=m 为对称轴方程. 其中， x?,x? 是抛物线与x 轴交点的横坐标. 5、二次函数的图像 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 的图像是一条抛物线，对称轴方程为 顶点坐标为 (1)单调性与最值 上道增，当一①当a0 上道增，当 一 上递减，在 时，上递增，② 当a0 时，如图所示，抛物线开口向下，函数在 时， 上递增， 上递减， 当 时，; ( 2 ) 与x 轴相交的弦长 当△=b2-4ac0 时，二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 的图像与x 轴有两个交点M?(xη,0)和 6、 二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处. 对二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 当 a0 时 ，f(x) 在区间[p,q] 上的最大值是M, 最小值是m, 则m=f(p),M=f(q); ( ( 2 ) 若 ( 3 ) 若 , , 则 ; 则m=f(q),M=f(p). 【方法技巧与总结】 1、 幂函数y=x°(a∈R) 在第一象限内图象的画法如下： ①当a0 时，其图象可类似y=x` 画出； ② 当 0a1 时，其图象可类似y=x 画出； ③当a1 时，其图象可类似y=x2 画出. 2、实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的实根符号与系数之间的关系 (1)方程有两个不等正根 … (2)方程有两个不等负根 (3)方程有一正根和一负根，设两根为 3、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根的分布问题 一般情况下需要从以下4个方面考虑： (1)开口方向；(2)判别式；(3)对称轴 与区间端点的关系；(4)区间端点函数值的正负. 设xj,x? 为实系数方程ax2+bx+c=0(a0) 的两根，则一元二次ax2+bx+c=0(a0) 的根的分布 与其限定条件如表所示. 根的分布 图像 限定条件 mx? x; V m O X 1 X? X x? mX? y f(m)0 x, Ol (x m X x? x? m y ?x X? ? Ol m X 在区间(m,n)内 没有实根 y △0 O m n X y O m n x △=0 x=x?≤m 或x?=x,≥m y O m N X y O m n X y m n 0| x 在区间(m,n)内 有且只有一个实根 y A Ω O M x y 不 g N O X 在区间(m,n)内 有两个不等实根 V O M NX 4、有关二次函数的问题，关键是利用图像 (1)要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区 间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”,三点指的是区间两个端点和区间中点， 一轴指对称轴.即注意 对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧； ③轴穿过区间内部(部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系),从而对参数值的范围进行讨论. (2)对于