专题05 椭圆中的离心率问题(解析版)2024年新高考数学之圆锥曲线专项重难点突破练（新高考专用）.docxVIP

第 第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 15 页 专题05 椭圆中的离心率问题 限时：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，过P作的垂线交x轴于点A，若，记椭圆的离心率为e，则（????） A． B． C． D． 【解析】因为，,所以,可得. 在中，.由椭圆的定义可得，故， 所以，所以.故选:A. ?? 2．已知点，分别是椭圆：的左、右焦点，点P是椭圆E上的一点，若的内心是G，且，则椭圆E的离心率为（????） A． B． C． D． 【解析】设点G到各边的距离为，由，得， ?? 即，由椭圆定义知，， 于是，所以椭圆E的离心率.故选：B 3．已知椭圆的左焦点为，上关于原点对称的两点、满足，若的最小值为，则的离心率为（????） A． B． C． D． 【解析】设椭圆的右焦点为，连接，， 因为，由椭圆的对称性知，四边形为矩形，所以， ?? 由椭圆的定义知，，所以， 在中，，所以， 而，所以，即，所以离心率．故选：D． 4．已知、是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线、的斜率分别为、()，若的最小值为，则椭圆的离心率为（????）. A． B． C． D． 【解析】设椭圆方程为，点，则点，显然， ?? 由与，相减得， 整理得，而，于是， 因为，当且仅当取等号，因此，即， 椭圆的离心率为.故选：D 5．已知是椭圆：的右焦点，点P在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率等于（????） A． B． C． D． 【解析】设椭圆的左焦点为，连接，设圆心为，则 ，则圆心坐标为,，半径为， 由于,,，，故,, 线段与圆（其中相切于点， ,, ，则，，故选：D． ?? 6．设椭圆的左右焦点分别为，，是椭圆上不与顶点重合的一点，记为的内心．直线交轴于点，，且，则椭圆的离心率为（????） A． B． C． D． 【解析】不妨设点位于第一象限，如图所示， ?? 因为为的内心，所以为的角平分线， 所以，因为，所以， 设，则，由椭圆的定义可知，， 可得，所以，， 又因为， 所以，在中，由余弦定理可得， ，所以，则，故选：B. 7．设椭圆（）的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足，，则椭圆C的离心率的取值范围是（????） A． B． C． D． 【解析】如图所示： 设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形， 又，则，所以平行四边形为矩形，故， 设，，则，在直角中，，， 所以，则， 所以，令，得，又由，得， 因为对勾函数在上单调递增，所以， 所以 ，即，则，故， 所以，所以椭圆离心率的取值范围是.故选：B. 8．已知焦点在x轴上的椭圆的内接平行四边形的一组对边分别经过其两个焦点（如图），当这个平行四边形为矩形时，其面积最大，则椭圆离心率的取值范围是（????） A． B． C． D． 【解析】椭圆C：的焦点在x轴上， 设所在直线方程为，其中为椭圆的半焦距. 则由 得 设，则， 所以， 因为所在直线方程为，所以直线与的距离为： ， 设，则，则 要使得最大值，则只需的值最大，即的值最小即可. 根据条件当这个平行四边形为矩形时，其面积最大. 即当时有最大值，也即是时最小， 由函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 因为函数在上，当时取得最小值，则. 所以，即，所以， 同时除以可得，解得,故选：A 二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的. 9．若椭圆的离心率为，则实数的值可能为（????） A． B． C． D．4 【解析】因为椭圆的离心率为， 当焦点在轴上时，即，得到，由，解得； 当焦点在轴上时，即，得到，由，解得. 故选：AD. 10．在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（????） A． B． C． D． 【解析】根据椭圆定义，得. ∵，∴.∵，即， 解得：，∴.又∵椭圆的离心率，∴该椭圆离心率的取值范围是. 故符合题意的选项有BCD.故选：BCD. 11．设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段的中点在y轴上，设，且，e为椭圆的离心率，则下列正确的有（????） A．当时， B．e随着k的增大而增大 C．e可能等于 D．e可能等于 【解析】线段的中点在y轴上，是的中点，故轴， ，，则，， ，即，整理得到. 对选项A：时，，，正确； 对选项B：，，故e随着k的增大而增大，正确； 对选项C：，解得，不在范围内，错误； 对选项D：，解得，