组合变形与叠加原理.pptxVIP

§3.3 向量组的线性相关性 一 、 向量组的线性组合 向量二空 向量组的线性相关性 三 、线性组合与线性相关的关系 四 、几个简单的性质和结论 ➢ §3.3 向量组的线性相关性 n 维 1 定义 设 是一组向量 ， 为实数，称 n 为向量组 的一个 维向量空 性组合，称 为组合系数。 若存在向量b，使得 则称向量b是向量组 b可由向量组 ➢ §3.3 向量组的线性相关性 的线性组合 ， 也称 线性表出(或线性表示). (2) 零向量是任意相同维数的向量组的线性组合。 注 (1) 组合系数 不要求非零； 一 、 向量组的线性组合 1 此为观察法 ， 还有待定系数法与初等变换法 向量空间 ➢ §3.3 向量组的线性相关性 就是向量 的一个线性组合。 的一个线性组合。 就是向量 设 则 设 则 n 维 例 例 1 有解 ， 则说明向量b 线性表示。 此式在分块矩阵中已给出 注意线性组合的表达形式 例 线性方程组 向量空能间由向量组 反之亦然。 ➢ §3.3 向量组的线性相关性 n 维 1 例 设 即 求解得 故 n 将b表示为向量组 维向量空间 解 令 的线性组合。 此为待定系数法 阴 1 二 、 向量组的线性相关性 定义 对于给定向量组 若存在不全为零的(实)数 n 使得 注意 这里对于系数 的要求与线性组合中的区别 . 问题 单个向量的线性相关性与线性无关性如何？ 1 k1α1+k2α2+…+kmαm=0 则称该向量组线性相关 ， 否则称为线性无关。 维向量空间 ➢ §3.3 向量组的线性相关性 例 下列向量组是否线性相关？ 答 (1) 相关 ， 因为 (2) 相关 ， 因为 (3) 相关 ， 因为 n … 维向量空间 1 ➢ §3.3 向量组的线性相关性 例 向量组 是否线性相关？ n 解 由于 即 维向量空间 因此向量组 线性相关。 启示 (1) 线性相关与线性组合之间存在某种必然的联系。 (2)三维空间 中的三个向量线性相关表表，，明这三个 向量是“共面 ”或者“共线 ”的。 思考 中若干向量线性相关，是否表明它们是“共面 ”的 或者“共线 ”的？(考虑 ) 1 注 向量组 线性无关 ， 表明这三个向量不是“共面 ” 或“共线 ”的。 1 因此得到惟一解 故向量组 线性无关。 例 向量组 解 令 向量空间 是否线性相关？ n 维 由于 即 ➢ §3.3 向量组的线性相关性 问向量组 向量空间 解 令 即 是否线性相关？ 例 已知向量 则方程组变为 不妨设 n 维 ( ? ) 1 ➢ §3.3 向量组的线性相关性 即 由于 即