(人教A版必修第一册)5.7函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质-(教师版).docx

函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质 1 性质 (1) 简谐运动可用函数y=Asinωx+φ，x A是振幅，周期T=2πω ，频率 f=1T=ω2π (2) A,ω,φ对f(x)=Asin A影响函数y=f(x)的最值，ω影响周期，φ影响函数水平位置. 2 函数的变换 (1) 平移变换 ① y=fx? y=f(x±a)(a0)将y=f(x)图像沿x轴向左(右)平移a个单位(左加右减 ② y=fx?y=fx± b (b0)将y=f(x)图像沿x轴向上(下)平移b PS f(x)=3sin(2x+π3)向左平移π4个单位，得到的函数不是f(x)=3sin(2x+π (2) 伸缩变换 ① y=f 将y=f(x)图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍(A1伸长，A1缩短). ② y=f 将y=f(x)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的1ω倍( ω1缩短，ω1伸长) 问题 怎么理解呢？例：若将fx=3sinx+π 解析 我们把fx=3sinx+π3的图象想象成一条弹簧，若纵坐标不变，横坐标缩到原来的12倍，那说明弹簧被压缩了，则周期变小，ω会变大(T= ? 【题型一】函数图象的变换 【典题1】 将函数f(x)=Asin(ωx+π6)(A0,ω0)的图象上的点的横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移π3个单位得到函数g(x) A．函数f(x)的最小正周期为π B．函数f(x)的单调递增区间为[2kπ-2π C．函数f(x)的图象有一条对称轴为x=2π D．函数f(x)的图象有一个对称中心为( 【解析】函数f(x)＝Asin(ωx+π 再向右平移π3个单位得到h(x) 与g(x)＝2cos(2x+φ)＝2sin(2x+φ+π2 又由于A0,ω0，所以A=2,ω= 所以f(x)=2sin(x+π6)，故函数f(x)的周期为2π 令2kπ-π2 所以函数f(x)单调递增区间为[2kπ-2π3 由于f(2π3)=2sin5π6 ∵f(2π3)≠0，∴(2π3 故选：B． 巩固练习 1(★) 将函数y=cosx的图象先左移π4，再纵坐标不变，横坐标缩为原来的12，所得图象的解析式为( A．y=sin(2x+π C．y=sin( 【答案】D 【解析】函数y=cosx=sin(x+π2)，其图象先左移π 再纵坐标不变，横坐标缩为原来的12，得函数y=sin(2x+ 所以函数y的解析式为y=sin(2x+3π4) 2(★) 将函数f(x)=3sin(12x-φ)(|φ|π2)的图象向左平移π3个单位长度得到函数 A．-π4 B．-π3 C．π 【答案】 C 【解析】将函数f(x)=3sin(12x-φ)( 可得g(x)=3sin[12 因为g(π3)=32 所以π3-φ=2kπ+π 因为|φ|＜π2，所以，φ= 3(★★) 为了得到函数f(x)=sin(2x+3π4)的图象，可以将函数g(x)=cos2x的图象 A．向右平移π4个单位 B．向左平移π4 C．向右平移π8个单位 D．向左平移π8 【答案】 D 【解析】为了得到函数f(x)=sin(2x+3π4)的图象，可以将函数g(x)=cos2x=sin(2x+π2)的图象向左平移 4(★★) 已知函数y=sin(ωx+φ)的两条相邻的对称轴的间距为π2，现将y=sin(ωx+φ A．3π4 B．π4 C．0 【答案 【解析】函数y=sin(ωx+φ)的两条相邻的对称轴的间距为π2 现将y=sin(2x+φ)的图象向左平移π8 则φ+π4 当k=0时，φ=π4 5(★★) 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω0,|φ|π2)的最小正周期为π，且图象向右平移π12个单位后得到的函数为偶函数，则f(x) A．关于点(5π12,0)对称 B．关于直线 C．在[-π12，5π12]单调递增 D．在 【答案】 C 【解析】∵f(x)的最小正周期为π，∴T=2π 此时f(x)=sin(2x+φ 图象向右平移π12个单位后得到y=sin[2(x- 若函数为偶函数，则φ-π6=k ∵|φ|＜π2， 则f(x)=sin(2x-π 则f(5π12)=sin(2×5π12- f(π6)=sin(2×π 当-π12≤x≤ 此时函数f(x)为增函数，故C正确， 当-π12≤x≤ 此时函数f(x)不单调，故D错误，故选：C． 6(★★★) 将函数f(x)=Asin(ωx+π6)(A0,ω0)的图象上的点的横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移π3 A．函数f(x)的最小正周期为π B．函数f(x)的单调递增区间为[2kπ- C．函数f(x)的图象有一条对称轴为x=2π D．函数f(x)的图象有一个对称中心为( 【答案 【解析】函数f(x)=Asin(ωx+π6)(A0