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全国高中数学竞赛二试模
拟训练题+数学竞赛集合与函数试题训练
加试模拟训练题
1、已知圆O 外一点 X ,由X 向圆O 引两条切线,切点分别为A , B ,过点X 作直线,
与圆O 交于两点C, D ,且满足CA BD ,若 CA, BD 交于点F ,CD, AB 交于点G ,BD
与GX 的中垂线交于点H ,证明X , F , G, H 四点共圆。(05 年日本)
1 1 1
a,b, c abc 1 a 1 b 1 c 1 1
2.设 是正实数,且满足 ,证明:
b c a
A n A m A , A , , A 两两互不包含,
3、设 是一个有 个元素的集合, 的 个子集
1 2 m
m 1 m
试证:(1) 1; (2)C|A | m 2 .
i
C|A | n
i
i1 n i1
| A | A C|A | n | A |
其中 表示 所含元素的个数, i 表示 个不同元素取 个的组合数.
i i n i
4.设a,b,c 是直角三角形的三边长。如果a,b,c 是整数,求证:abc 可以被 30 整除。
c c2 a 2 b2
证明:不妨设 是直角三角形的斜边长,则 。
加试模拟训练题(15)
1、已知圆O 外一点 X ,由X 向圆O 引两条切线,切点分别为A , B ,过点X 作直线,
与圆O 交于两点C, D ,且满足CA BD ,若 CA, BD 交于点F ,CD, AB 交于点G ,BD
与GX 的中垂线交于点H ,证明X , F , G, H 四点共圆。(05 年日本)
证明 因为X , D , G, C 是调和点列,且CFD 90,所以F 在关于点 X , G 的阿波
罗尼斯圆上。连FG , FX ,有GFD DFX 。设GFX 的外接圆与BF 交于点H ,则
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