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3.1.1函数及其表示方法
TOC \o 1-3 \h \z \u 题型1区间的表示 4
题型2函数概念 5
◆类型1函数定义的理解 5
◆类型2已知对应关系判断函数 7
◆类型3已知解析式判断函数 9
◆类型4函数图像的判断 10
题型3函数求值 12
题型4函数个数的判断 14
题型5同一个函数的判断 14
题型6函数的定义域及其求法 16
◆类型1已知函数解析式求定义域 16
◆类型2抽象函数定义域问题 17
◆考点一已知f(x)求f(x+a)型 17
◆考点二已知f(x+a)求f(x)型 18
◆考点三已知f(x+a)求f(x+b)型 18
◆考点四复合函数的定义域 19
◆类型3已知定义域求参数取值范围 20
题型7求函数解析式 21
◆类型1待定系数法 21
◆类型2换元法 22
◆类型3方程组法 23
◆类型4配凑法法 24
题型8分段函数 24
◆类型1分段函数求值问题 24
◆类型2含参问题 25
◆类型3分段函数求解析式 26
◆类型4分段函数的图像 28
题型9新定义习题 31
题型10实际应用 32
知识点一.函数的定义
函数
两集合A、B
设A,B是两个非空数集
对应关系f:A→B
如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,
在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
名称
称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数
记法
y=f(x),x∈A
知识点二.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域:
在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;
与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
(2)函数的三要素:定义域、对应关系和值域.
(3)函数的表示法:表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
具体如下:
= 1 \* GB3 ①解析法∶利用解析法表示函数的前提是变量间的对应关系明确,且利用解析法表示函数时要注意注明
其定义域.
= 2 \* GB3 ②列表法∶就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.比如我们生活中经常遇到的列车时刻表、银
行的利率表等.其优点是不需要计算就可以直接看出与自变量相对应的函数值.这种表示法常常被应用到实际生产和生活中去.
= 3 \* GB3 ③图像法∶函数图象的形状不一定是一条或几条无限长的平滑曲线,也可能是一些点、一些线段、一段
曲线等,但不是任何一个图形都是函数图象.
注意:
函数的图像:将函数y=f(x),x∈A中的自变量x和对应的函数值y,分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标,则满足条件的点(x,y)组成的集合F称为函数的图像,即F={(x,y)|y=f(x),x∈A}.
知识点三.分段函数
如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应方式,则称其为分段函数.
知识点四.同一个函数
如果两个函数表达式表示的函数定义域相同,对应关系也相同(即对自变量的每一个值,两个函数表达式得到的函数值都相等),则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数.
知识点五.区间及相关概念
(1)一般区间的表示:设a,b是两个实数,而且ab,我们规定:这里的实数叫做区间的端点.
在用区间表示连续的数集时,包含端点的那一端用中括号表示,不包含端点的那一端用小括号表示.
定义
名称
符号
数轴表示
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”.
(3)特殊区间的表示
定义
符号
数轴表示
≥
≤
题型1区间的表示
【例题1】(2023·全国·高一专题练习)用区间表示下列数集:
(1){x
(2){x
(3){x
(4)R;
(5){x
(6){x|0x
【变式1-1】1. (2023秋·高一课时练习)已知区间[2a-1,11],则实数a
A.(-∞,6) B
C.(1,6) D.(-1,6)
【变式1-1】2. (2023秋·高一课时练习)已知区间(a+1,7],则实数a的取值范围是
【变式1-1】3. (2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习)不等式x2+1x
【变式1-1】4. (2023·江苏·高一专题练习)十九世纪下半叶集合论的创立.奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集.(Cantor)”是数学理性思维的构造产物,具体典型的分形特征,其操作过程如下:将闭区间[0,1]均分为三段,去掉中间的开区间段13,23,
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