拉格朗日中值定理洛必达法则..pptx

高等数学 §3.5 拉格朗日中值定理与洛必达法则 一、案例引入 二、讨论分析 1、拉格朗日中值定理 2、洛必达法则 下页 在两个高度相同的点间的一段连续曲线上，除端点外 如果各点都有不垂直于x轴的切线，那么至少有一点处 的切线水平的. 案例引入 高等数学 一、拉格朗日(Lagrange) 中值定理 1、 定理3-6(拉格朗日 (Lagrange) 中值定理) 如果函数f(x)满足下列条件： (1)在闭区间[a,b]上连续； (2)在开区间(a,b)内可导， 那么在(a,b) 内至少存在一点ξ,使得： 或 f(b)-f(a)=f(ξ)(b-a) 讨论分析 高等数学 曲线y=f(x) 在 [a,b] 上是一条连续的曲线弧AB, 曲线弧 AB内部每一点处都有不垂直于x 轴的切线. 连接端点A 和 B 作弦AB, 则 2、拉格朗日中值定理 的几何直观 由定理的条件可知， 讨论分析 高等数学 例1 函数f(x)=x²+2x在[0,2]上满足拉格朗日定理么? 如果满足，求出使定理成立的ξ的值。 解∵f(x)=x²+2 x是初等函数，故在闭区间[0,2] 上连续，在开区间(0,2)内可导，所以函数在[0,2]上满 足拉格朗日中值定理的条件. L-中值定理： 又f(x)=2x+2, 令 即 解得ξ=1∈(0,2) 讨论分析 高等数学 3、 拉格朗日中值定理应用 (1)证明不等式； (2)证明等式 例2 证明：对任意0ab, 不等式 3a²(b-a)b³-a³3b²(b-a) 成立. 解 设 f (x)=x³, 显然它在 [a,b] 上满足 拉格朗日中值定理的条件，所以有 L-中值定理：f(b)-f(a)=f(ξ)·(b-a) 即 b³-a³=35²(b-a), (aξb) 显然有 3a²(b-a)3ξ²(b-a)3b²(b-a), 即 3a²(b-a)b³-a³3b²(b-a) 讨论分析 高等数学 高等数学 讨论分析 例3.证明不等式 证：设 f(t)=In(1+t),显然f(t)在[0,x]上满足拉格 朗日中值定理条件，因此应有 f(x)-f(0)=fξ)(x-0), 0· ξx 故 (x0) 章节目录 上 页 下页 即 la(1+x)-1nl=1+g X 即 因为 推论1 若函数f(x) 在区间I上满足f(x)=0, 则 f(x) 在区间I上必为一常数. 证 设x₁,x ₂ 为区间I上任意两点(不妨设x₁x₂) 显然，f(x) 在 [x₁,x₂] 上满足拉格朗日中值定理的条件， 所以 f(x₂)-f(x₁)=f(ξ)(x₂-x₁)(x₁ 5x₂ ) 由于f(5)=0, 则 f(x₂)-f(x₁)=0, 即 f(x₂)=f(x ₁) 即函数f(x)在区间I 上任意两点的函数值相等， 故f(x) 在区间I 上为一常数. 章节目录 上页 下页 讨论分析 高等数学 由推论可知 f(x)=arcsinx+arccosx=C(C 为常数) 故所证等式在定义域[-1,1]上成立. 小结：欲证x∈I时f(x)=C₀,只需证在I 上f(x)=0, 例4.证明等式 aresin x+arcos ,xel-1,11. 证：设 f(x)=arcsinx+arccosx, 在(-1,1)上有： 且3x₀ ∈I,使f(x₀)=C₀, 章节目录 讨论分析 高等数学 练习： arctanx+arccot x=2,xe(-0,+x) 推论2 若两个函数f(x)与g(x)的导数在区间I 内相等， 即 f(x)=g(x) (x∈I), 则 f(x)-g(x)=C(C 常数). 讨论分析 高等数学 —— 在(a,b) 内至少存在一点ξ,使f(5)=0. 应用说明：(1)证明方程f(x)=0根的唯一性。 (2)证明方程 f(x)=0 有根。 4、补充：罗尔 (Rol le) 定理 若函数y=f(x) 满足： L-中值定理： (1)在区间[a,b] 上连续 (2)在区间(a,b) 内可导 (3)f(a)=f(b) 讨论分析 高等数学 正实根. 证：1)根的存在性， 设f(x)=x⁵-5x+1, 则f(x)