高等代数一章.pptx

主讲老师： 王住登 联系电话：辅导老师： 黄娟娟 联系电话：高等代数 §7 多项式函数 §8 复 、 实系数多项 式 §9 理因系式数分多解项式 §10 多元多项式 数域 一元多项式 整除的概念 最大公因式 因式分解 第一章 多项式 §6 重因式 §11 对称多项式 §1 §3 §4 §5 §2 一 、数域 二 、数域性质定理 一 、数域 定义 设P是由一些复数组成的集合 ， 其中包括 0与1 ， 如果P中任意两个数的和 、差 、积 、商（除 数不为0） 仍是P中的数 ， 则称P为一个数域 . 常见数域： 复数域C； 实数域R； 有理数域Q； （注意： 自然数集N及整数集Z都不是数域 . ) 1） 若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在P 中 ， 则说数集P对这个运算是封闭的 . 2） 数域的等价定义： 如果一个包含0 ， 1在内的数 集P对于加法 ， 减法 ， 乘法与除法（除数不为0） 是封闭的 ， 则称集P为一个数域 . 说明： 是一个数域 . 证： 又对 设 a,b,c,deQ, 则有 例1． 证明： 数集 也不为0 . 于是 设 （否则 ， 若 则 于是有 或 Gauss数域 类似可证 是数域. 为数域 . 矛盾） 意两个数的差与商（除数≠0） 仍属于P ， 则P为一 一个数域 . 证： 由题设任取 有 时, 时, 所以 ， P是一个数域 . 例2． 设P是至少含两个数的数集 ， 证明： 若P中任 二 、数域的性质定理 任意数域P都包括有理数域Q . 即 ， 有理数域为最小数域 . 证明： 设P为任意一个数域． 由定义可知， oep， 1ep. 于是有 而任意一个有理数可表成两个整数的商， 进而有 则称P为一个数环 . 例如 ， 整数集Z就作成一个数环 . 数环 设P为非空数集 ， 若 附 : 判断数集 是否为数域？ 为什么? 练习 作业 1． 若 为数域 ， 证明： 也为数域 . 2 . 证明： 集合 是一个数环 . S是数域吗？ 一 、一元多项式的定义 二 、 多项式环 _____________ § 1 .2 一元多项式—— 1． 定义 设 是一个符号（或称文字） ， 是一 个非负整数 ， 形式表达式 称为数域P上的一元多项式 . 等表示 . 一 、 一元多项式的定义 其中 常用 称为i次项系数 . 为 的首项 ， 为首项 的次数 ， 记作 , 即 ， 则称之 ① 称为i次项， ② 若 则称 系数 ， n称为多项式 ③ 若 注： 多项式 中， 为零多项式． 零多项式不定义次数 . 零多项式 零次多项式 区别： 若多项式 与 的同次项系数全相等 ， 则 称 与 相等 ， 记作 即 ， f(x)=αx+αx1+…+αx+α g(x)=bx+bjx-1+…+bx+b 2． 多项式的相等 3． 多项式的运算： 加法（减法） 、乘法 在 中令 加法： 若 减法： 则 中s次项的系数为 f(x)g(x)= 乘法： 注 : 为数域 P上任意两个多项式 ， 则 仍为数域 P上的多项式 . 1) 2) ① ②若 ((x)g(x))=@(f(x))+(g(x)) 4． 多项式运算性质 则 且 f(x)+g(x)=g(x)+f(x) (f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+ (g(x)+h(x)) f(x)g(x)=g(x)f(x) (f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x)) 的首项系数× 3)运算律 f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x) 的首项系数. 的首项系数 (2)在复数域上(1)是否成立？ (1) 证明 : 若 例1 设 则 x(g2(x)+h2(x))=f2(x)≠0， 从而