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§7 多项式函数
§8 复 、 实系数多项
式
§9 理因系式数分多解项式
§10 多元多项式
数域
一元多项式
整除的概念
最大公因式
因式分解
第一章 多项式
§6 重因式 §11 对称多项式
§1
§3
§4
§5
§2
一 、数域
二 、数域性质定理
一 、数域
定义 设P是由一些复数组成的集合 , 其中包括
0与1 , 如果P中任意两个数的和 、差 、积 、商(除 数不为0) 仍是P中的数 , 则称P为一个数域 .
常见数域: 复数域C; 实数域R; 有理数域Q;
(注意: 自然数集N及整数集Z都不是数域 . )
1) 若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在P
中 , 则说数集P对这个运算是封闭的 .
2) 数域的等价定义: 如果一个包含0 , 1在内的数
集P对于加法 , 减法 , 乘法与除法(除数不为0) 是封闭的 , 则称集P为一个数域 .
说明:
是一个数域 .
证:
又对 设
a,b,c,deQ, 则有
例1. 证明: 数集
也不为0 .
于是
设
(否则 , 若 则
于是有
或
Gauss数域
类似可证
是数域.
为数域 .
矛盾)
意两个数的差与商(除数≠0) 仍属于P , 则P为一
一个数域 .
证: 由题设任取 有
时, 时,
所以 , P是一个数域 .
例2. 设P是至少含两个数的数集 , 证明: 若P中任
二 、数域的性质定理
任意数域P都包括有理数域Q .
即 , 有理数域为最小数域 .
证明: 设P为任意一个数域. 由定义可知,
oep, 1ep.
于是有
而任意一个有理数可表成两个整数的商,
进而有
则称P为一个数环 .
例如 , 整数集Z就作成一个数环 .
数环 设P为非空数集 , 若
附 :
判断数集 是否为数域? 为什么?
练习
作业
1. 若 为数域 , 证明: 也为数域 .
2 . 证明: 集合 是一个数环 .
S是数域吗?
一 、一元多项式的定义
二 、 多项式环
_____________
§ 1 .2 一元多项式——
1. 定义 设 是一个符号(或称文字) , 是一
个非负整数 , 形式表达式
称为数域P上的一元多项式 .
等表示 .
一 、 一元多项式的定义
其中
常用
称为i次项系数 .
为 的首项 , 为首项
的次数 , 记作
, 即 , 则称之
① 称为i次项,
② 若 则称
系数 , n称为多项式
③ 若
注: 多项式 中,
为零多项式. 零多项式不定义次数 .
零多项式
零次多项式
区别:
若多项式 与 的同次项系数全相等 , 则
称 与 相等 , 记作
即 , f(x)=αx+αx1+…+αx+α
g(x)=bx+bjx-1+…+bx+b
2. 多项式的相等
3. 多项式的运算: 加法(减法) 、乘法
在 中令
加法: 若
减法:
则
中s次项的系数为
f(x)g(x)=
乘法:
注 :
为数域 P上任意两个多项式 , 则
仍为数域 P上的多项式 .
1)
2)
①
②若
((x)g(x))=@(f(x))+(g(x))
4. 多项式运算性质
则 且
f(x)+g(x)=g(x)+f(x)
(f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+ (g(x)+h(x))
f(x)g(x)=g(x)f(x)
(f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x))
的首项系数×
3)运算律
f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x)
的首项系数.
的首项系数
(2)在复数域上(1)是否成立?
(1) 证明 : 若
例1 设
则
x(g2(x)+h2(x))=f2(x)≠0,
从而
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